Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
ло-
... лп, aj ... пт
ренцевых свойств генераторов, и остается только одно возмож-ное
представление (0, 1/2) 0(1/2, 0).
Хотя это обсуждение начиналось с группы Пуанкаре, можно было с тем же
успехом исходить из конформной или (анти) деситтеровской группы и
получить суперконформную или супер-симметричную (анти) деситтеровскую
алгебру. Для полноты изложения приведем перестановочные соотношения этих
алгебр. Суперконформная алгебра, которая содержит генераторы Рп, Jmn, D,
Кп, Qai и Sai, наряду с перестановочными соотношениями из группы Пуанкаре
определяется также следующими
26
ГЛАВА 2
соотношениями:
Pkl ^\nkPm X\m]lP
n> [Jmn> Kk\ ЦпкКт 'Чтп/гКп,
IA Pk\ = - [Д ^x] = + Kkj
[Pm, Kn\ = - 2Jmn + 2nmnD, [Kn, Km] = o, [Pn, Pm] = o,
Jmn] = I (Ymn)S Q"' [S"', U = Y (Ymn); QP!'
{Qni, Qw} = _ 2 (xnC~l)U* pnbli, {sai, Spi} = + 2 (у^С-'Г КпЬ11, [Qa\ D]
= у Qal> [Su?, D] = - у S'",
[Q°\ J = - (Yjp Sft, [ST1, Pn] = (vJiQ", (2.41)
[q"\ тг] = (ь; (tn){ + (Y5)p ы5) qu,
[S"\ Tr\ = (б" (Tn)) - (Y5)p (Xr)]} Qp/,
[Q"\ Л ] = - t ы; cf , [S"'\ A] = i (x5)l Sp/,
{Qu!> Sp/} = -2 (C-')a|,D6f/ + (YnwC-ir/mfI6'/ + 4t(Y5C"ir^6,/-- 2 (tnf
(C'T + ((тГг)" (УйС"Г) Tr.
Генераторы TTw А порождают группу U(N), а X\ + Y5T2 принадлежат
фундаментальному представлению группы SU(N).
Антидеситтеровская супералгебра порождается генераторами Мтп, Тц и Qai с
перестановочными соотношениями
[Mmn, Mpq] = x\npMmq + 3 слагаемых,
[мтп, Тц] = о, [Qai, мтп] = -i (Ym"c-1)apQp'.
[Qai, Tih] = - 2t (6i!Qak - 6ikQal), (2.42)
{Q", Qw} = б?/ (у^С-'Г iMmn + (C"')aP Tt!,
[Tl', Tkl] = - 2i (6!kTil + 3 слагаемых).
3. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ПОДХОДЫ К АЛГЕБРЕ СУПЕРСИММЕТРИИ
Несмотря на то что в гл. 2 алгебра суперсимметрии была представлена с
точки зрения возможности нетривиальной связи группы Пуанкаре и группы
внутренней симметрии, априори ее можно получить по меньшей мере с помощью
двух других подходов.
Может быть, наиболее интуитивный из них опирается на требование
существования симметрии между фермионами и бозонами. Останавливаясь на
таком подходе, предположим, что имеется представление симметрии,
содержащее по крайней мере один скаляр А, только один спинор Ха, а также
другие бозонные поля. При этом необходимо иметь преобразование,
связывающее поля А и Ха-
Преобразование, связывающее скаляр А и фермион %а, если оно линейно,
должно иметь вид
бА = е"ха. (3.1)
Анализ размерности показывает, что параметр ва должен иметь размерность 1
/2 1) и быть антикоммутирующим параметром, поскольку А и Ха подчиняются
статистикам Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака соответственно. Принимая во
внимание размерные соображения, лоренцеву инвариантность и четность и
предполагая линейность, заключаем, что преобразование имеет следующий
вид:
бХа == (у°)а^ даАв,^ -)- слагаемое, содержащее другие поля. (3.2)
Конечно, чтобы получить симметрию, недостаточно просто написать ряд
преобразований; надо еще убедиться, что эти преобразования образуют
замкнутую алгебру. Из уравнений (3.1) и (3.2) следует
[бь б2] А = е2уаеДаА - (1 *-*¦ 2) другие слагаемые. (3.3)
Следовательно, мы находим, что требование симметрии Фео-ми-Бозе (при
условии линейной реализации) в результате различия размерностей бозонных
и фермионных полей должно приводить к появлению пространственно-временных
трансляций,
!) Далее в книге, где это необходимо, указывается показатель степени п
для размерности каких-либо величин в единицах массы (т. е. см-1/2 в
единицах А = с = 1). - Прим. ред.
28
ГЛАВА 3
а также частиц с другим спином. Читатель может убедиться, что действие
коммутатора двух преобразований суперсимметрии на спинор %а в случае,
когда учитывается только первое слагаемое правой части (3.2), не является
простой трансляцией. Это отражает тот факт, что требуются дополнительные
поля с нулевым спином, отличные от поля А. Такой подход можно довести до
завершения, и читатель может познакомиться с построением модели Весса -
Зумино и теории Янга - Миллса с N = 1 в гл. 5 и 6 соответственно.
Другой подход к суперсимметрии состоит в следующем: рассмотрим общую
теорию поля и потребуем, чтобы она имела улучшенные свойства в
ультрафиолетовой области (отсутствие расходимостей), что, как известно,
является характерным признаком суперсимметричных теорий. Например,
рассмотрим вакуумную энергию частицы массы т и спина /:
-у (-1)2/ (2/ + 1) J cfk^Jk2 + т2 =
=4(-1)И(2;+1) ( (тг)2+-")-
Потребовав, чтобы отсутствовали расходимости четвертой степени,
квадратичная и логарифмическая, получим
? (-1)2' (2/ + 1) = 0, ? (-1)2' (2/ + 1) т* = О,
/ i
Z(-l)2'(2/+l)/nf = 0.
Первое условие требует равенства чисел фермионных и бозонных степеней
свободы, а два последних выполнены, если частицы имеют одинаковые массы.
Это обстоятельство давно было замечено Паули.
Приняв простейшую из упомянутых возможностей, т. е. один майорановский
фермион и два поля с нулевым спином, мы можем записать наиболее общее
перенормируемое взаимодействие. Требование, чтобы эта теория,