Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
но
(^г)=-^7' (А'38)
Эти формулы показывают, что спинорные производные скаляров, составленных
из антикоммутирующих переменных, обра-
ПОЯСНЕНИЕ ВЫБРАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 311
зуют майорановские спиноры. При комплексном сопряжении спинорных
производных следует менять порядок следования производных, так же как и
матриц 0. Читатель может убедиться, что приведенное выше определение
применимо для любых функций переменных 0 и не только линейных по 0.
Дадим теперь определение кручению и кривизне. Сначала определим
ковариантную производную следующим образом:
D M = EMx(dA + ±QAmnJmn), (А.39)
где Jmn - лоренцевы генераторы, Емл - обратная матрица супертетрады, a
Qxmn- спиновая связность. Тензоры кручения и кривизны даются соотношением
[Ьм, Dw] = ТШ*ЪR + -j RMNmnJmn. (A.40)
Явные вычисления показывают, что____________________________- -*
Tmnr = ?мА dxEN*En* + Qmn* - (- 1)M-V (AT - N),
f>MNrs = EMAENn (-1 )A(N+n] {dxQnrs + QxrkQnks - (-l)An (A ^ я)}.
(A.41)
Спиновая связность со значениями в пространстве группы Лоренца имеет
следующую структуру:
/ "Mm \
QmnR = 1 4&М (атп)лВ . (А.42)
V
Матрица {атп)Ав определена согласно правилам (А.5):
('зтп)АВ = (Gmn)CD еСлевв.
Причина появления знака минус в (А.42) состоит в том, что (сг mn)AB%B - -
(Отп)Ав%в. Полезно определить кривизну '/2Rmnpq со значениями в
пространстве представлений группы Лоренца следующим образом:
RMNrS \
Rmnpq = I ~ Rmn'S т (0rs)
(А.43)
Обсудим теперь свойства вещественности Емя и обратных им величин Елм.
Поскольку dzMEMn можно рассматривать как пре-
312
ПРИЛОЖЕНИЕ А
В
-к '
(А.45)
образование от инерциальной системы (плоское пространство) к
искривленному пространству, потребуем, чтобы как плоские, так и
криволинейные координаты имели одинаковые свойства вещественности по
отношению к операции (*), а именно
(.dzmY = dzm, (dzA)* = - dzA, {dzA)* = dzA,
(A.44)
(dz^1)* - dz{dz-)* = -- dz-, (dzA )* = dzA.
Из тождества dz4 = dzMEMa можно вывести следующие свойства
вещественности:
(р = р ч (Е -У = - Е -
\ т ) ^ т " \ tn ) "
(?/)¦ = ?д". (?/)' = ?д-. (?/)' = ?Д
Эти правила легко понять: после сопряжения (ЕАА)* тетрада равна ЕА*а" а
коммутация А* и А* приводит затем к окончательному результату.
Теперь можно получить свойства вещественности тензора кручений в
суперпространстве, поскольку нам известно поведение величин Ема и д\ при
комплексном сопряжении. Например, (ТАВсУ = (ЕААдАЕв*Епс + ...)*.
(А.46)
Проще всего в качестве Лия выбрать бозонные поля; в этом случае
{ТАВсу = (Ечсу{д]1Е\У{ЕА"Г+ ... =
= - Е* <уГ*\Е/ + • • • = V + • • • • (А-47)
Следовательно, (ТАВсу = ТАВс. Все выведенные правила можно записать
кратко в виде следующей формулы:
|f (ТмирУ = (- 1)р ^+mn+P Tm*n*p*, (А.48)
где окончательный знак в правой части возникает в результате перемены
мест индексов Р* и N*M*, М* и А*, а также знака минус в тождестве (0л)* -
- 0л. Более простое мнемоническое правило состоит в том, чтобы в качестве
Tmnp в частном случае выбрать выражение Zm_ZnZp и далее использовать
правила для (ZM)*. Приведем еще два примера:
СТлв"'Т = -Ти", (ГдЛ-ГаЛ (А. 49)
Для того чтобы определить свойства вещественности кривизны, необходимо
сначала установить эти свойства у связности. Требуя, чтобы оба слагаемых
правой части равенства DM =
ПОЯСНЕНИЕ ВЫБРАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
313
=EMAdAJr 1 /2ЕмК0'Атп}тп имели одинаковые свойства относительно операции
комплексного сопряжения, мы сначала определим, как ведет себя связность
Од(tm) при комплексном сопряжении. Например, выбрав какой-либо вещественный
вектор vk и воспользовавшись соотношением
= (EM,idilvk + EMxQ\kiVl -j- . . .) =
= + (?/)'• (A.50)
найдем, что величина (Dmy*)* должна быть равна (Dmvk). Отсюда получаем
(GvW)* = QvW> (А-51)
где по определению А = (т, А, А), если А==(т, А, А).
Определим затем свойства вещественности связности Йдр(r). Так как лоренцевы
генераторы удовлетворяют тождествам
[(^тп) в ] (&тп)в ' >
Т. е.
[{отп)АВГ = (атп)Ав\ (А.52)
находим
(QiVP<2)* = QAfA (А.53)
(Заметим, что знак минус, возникающий из-за комплексного сопряжения
матрицы атп, компенсируется таким же знаком, который имеется в
определении величины Q дpq.) Из этого результата следуют свойства
вещественности кривизны. Так как
R\nP(r) - "ЗдйяР^ -j- • • •, (А.54)
то
(/г"ЛГ-(-1)" (А.55)
где мы использовали тождество (д/дА) * = д/дА. Поскольку dzA и dzm должны
иметь одинаковые свойства при комплексном сопряжении, кривизна
преобразуется при сопряжении следующим образом:
= (А-56)
Чтобы иллюстрировать приведенное выше обсуждение, рассмотрим вариацию
супертетрады (репера). Из трансформационных свойств супертетрады при
общекоординатных преобразованиях
ЬЕКМ = <?А3 ЯЕЯМ + Зл дпЕАм (А.57)
314
ПРИЛОЖЕНИЕ А
делаем вывод, что
6Е Ам = - Ea*8nTnrm + DAeiM, (А. 58)
где
Afr ix p^ix
е En =a .
Поэтому, принимая ТА^т - -2i (<тт)лв = Твл"\ из соотношений
^т(0 = °) = еЛ ел(0 = О) = ел, ?/(0 = О) = ф/ (А.59) находим
<W" = + *ВТвлт%Х + =
= - 2ieB (om)Ah ф/. (А.60)