Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Обе матрицы ат и дт имеют одни и те же пространственные компоненты а. Это
естественно при нашем выборе метрики (-, +, +, +) и ведет к соотношениям
между ат и ат, не содержащим знака минус.
Матрицы удовлетворяют следующим соотношениям:
(Олв (а"Ьс - + 6тп6лс + (атп)Ас,
(от)вл(°п)АС' = + + (отп)6с,
(а-)лв {дп}.с = + чтп6сА + {emn)Act (А.8)
*2~&тпгз(б )^В i{ptnn) В->
ПОЯСНЕНИЕ ВЫБРАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
307
где
(отп)Ас = У(атап-апат)Ас,
. ! . (А.9)
Обратим внимание на то, что матрицы атп и дтп с двумя верхними или
нижними индексами симметричные. Приведем еще ряд полезных тождеств:
(ат)лв {dm)tD = 26 Vй с • Юлё (°т)сй = + 28^8^, <0ЛВ'(а")йд(аг)"= (АЛО)
= + KV + цт\пг - nmrn"s] КК + ^mnrs (^)Л?-
Для того чтобы установить соответствие между четырех- и двухкомпонентными
спинорами, рассмотрим теперь четырехкомпонентные спиноры. Представление,
удобное для перехода к двухкомпонентным спинорам, имеет вид
/ о -iam\ от = (1, о),
уП-{ iom 0 У ГД6 дт - (-1, сг).
Определим также матрицу
( 1
Ys = гУyVy° = I Q _i !, причем Y§ = +1 - (АЛ1)
Майорановским называют спинор, для которого майорановски-сопряженный
спинор равен дираковски-сопряженному. Майора-новски-сопряженным по
отношению к четырехкомпонентному ¦спинору будет по определению спинор
Хм=-%ТС или (хм)а = хрСра. (АЛ 2)
Дираковски-сопряженный спинор определен следующим образом:
XD = x4iy°) или (У" = (1СрГ(гУ)Ра- (АЛЗ)
Следовательно, майорановский спинор удовлетворяет тождеству ХТС - X*V°i
или хрСра = (хр)* (М°)Ра- (АЛ 4)
Четырехмерная матрица зарядового сопряжения Сар антисимметрична, а
матрица Сут симметрична, т. е.
СТ = - С, CymC~l = - (ym)T- (АЛ 5)
308 ПРИЛОЖЕНИЕ А
В указанном выше представлении имеем
0 1 \
I -1 о 0 Л
с = tYV = л , • (А. 16)
Теперь мы имеем все необходимое, чтобы установить связь между двух- и
четырехкомпонентными спинорами. Разложим четырехкомпонентный спинор на
два двухкомпонентных:
*-(?). (А.17)
Следовательно, двухкомпонентные спиноры связаны с четырехкомпонентными
соотношениями
Хл = 4(1 + Y5)X". Ik ^тО ~ Ys)Xa- (А.18)
Здесь хл и обозначают лишь две первые и две последние
компоненты спинора Матрица зарядового сопряжения имеет вид
С = (8ЛВ ° .). (А.19)
V0 +8ЛВ/
Майорановское условие Хм=Хо принимает вид
(Хл)* = Ед, (Хл)* = -ЕА. (А.20)
где в соответствии с правилом "северо-западного" свертывания
Хл = Хвевл, Za=sabZb- (А.21)
В результате майорановский спинор может быть представлен в виде
n/i
Ха = (Хл, - Хл), (А.22)
где по определению (хл)* = Хл> поэтому (хл)' = -Хл- Черта сверху
означает, что спинор хл получен из спинора %а с помощью комплексного
сопряжения. В основном тексте мы часто опускаем черту сверху для
упрощения обозначений.
ПОЯСНЕНИЕ ВЫБРАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ 309
Обратимся теперь к трансформационным свойствам двух- и
четырехкомпонентных спиноров под действием преобразований группы Лоренца.
Нормируем генераторы группы Лоренца по их действию на ковариантный вектор
(¦jwmnJmn)vr = wrsVs. (А.23)
Следовательно,
Утп)? = (л тАп - ЛпАт)- (А.24)
Таким образом, коммутационные соотношения для генераторов Jmn имеют вид
[Jmn' Jpq] = 4npJmq + 3 слагаемых. (А.25)
В представлении четырехкомопнентных спиноров генераторы даются выражением
^тп Утп> Утп ~2 (УтУп УпУт)• (А.26)
Итак, четырехкомпонентные спиноры преобразуются под действием
преобразований Лоренца следующим образом:
6 (ю) %" = wmnJmn) г = 4 (tm)тп {утп)\ Хр. (А.27)
Используя представление у-матриц
/0 - iom \
v" = ( + ie(tm) о ) (А.28)
запишем правила преобразования двухкомпонентного спинора Ха=(ХА>Хл) в
виДе
^Хл = \ wmn (атп)Ав Хв. (А.29)
где
(r)тп ~2 B'rtCTm). (А.30)
Последние формулы следуют из соотношения кв%в = -А,в%в¦ Заметим, что по
причинам, которые обсуждались выше, мы опустили черту над%^. Поскольку
матрица отп симметрична по спинорным индексам, получаем
бХл = - Хв | ^ (^А = (°пт)АВ Хв- (А.31)
Дадим теперь определение комплексного сопряжения (*). Для функций,
зависящих от координат пространства, символ
310 ПРИЛОЖЕНИЕ А
(*) означает обычное комплексное сопряжение, поэтому
[{д/дх^) f (х)]* = (д/дх•*) f (л:). (А.32)
Но для скаляров, образованных из двух антикоммутирующих переменных
S = QAeABQB, (А.33)
потребуем, чтобы их комплексно- и эрмитово-сопряженные величины
совпадали. Если переменные 0 являются матрицами, то эрмитово сопряжение
означает
S+ = (0В)+ (гАВГ (0Л)+ = 0В (еАвУ 0Л. (А.34)
Для того чтобы выполнялось равенство S* = S+, мы потребуем изменения
порядка следования матриц 0 при сопряжении ("-). Например,
(0Л0В)* = Q6 Qa , (0^0fi0C)* = _ 0С0вел; (А.35)
поскольку (0Л)* = - 6Л (опускаем черту). Таким образом, (0л0Д* = 0Л0л-
Определим производные по антикоммутирующим переменным, а именно левые
производные:
-i-0B = 6A -Л-0В = 6;В.
д&А А ддА
Отсюда имеем
д п *л д ^=л.л (А.36)
Теперь можно определить комплексно-сопряженную производную, потребовав,
чтобы выполнялись равенства
V = V^ire")'= Г >•(-!;)* =
= (А'37)
в результате имеем
/ д V _ д ( д у = _д_
V <Э0Л J 50л ' I 50л ) dQA '
