Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
симметрии еще более сужается. Случаю, когда имеется только один
центральный заряд, соответствует группа внутренней симметрии Sp(N), а
случаю, когда нет центрального заряда, - группа U(N).
Таким образом, если мы требуем, чтобы алгебра была ^-градуированной и
содержала алгебры группы Пуанкаре и
АЛГЕБРА СУПЕРСИММЕТРИИ
23
внутренней симметрии, то обобщенные тождества Якоби налагают очень
сильные ограничения на выбор такой алгебры. В действительности, если
сделать дальнейшее допущение, что QJ - спиноры относительно группы
Лоренца, то алгебра имеет форму, определенную соотношениями (2.1), (2.6),
(2.11), (2.16),
(2.18) и (2.21).
Простейшая алгебра существует при N - 1, она включает соотношения
а также коммутационные соотношения группы Пуанкаре. Заметим, что в этом
случае нет центральных зарядов (т. е. U" = = V" = 0), а группа внутренней
симметрии становится просто группой кирального вращения с генератором R.
Теперь мы докажем три упомянутые выше утверждения. Это не было сделано
выше, чтобы не отвлекать внимание от главной линии рассуждений. Мы
воспользуемся двухкомпонентным формализмом.
Замечание 1. Предположим, что мы имеем алгебру, допускающую комплексное
сопряжение как инволюцию; для супер-зарядов это значит, что
Перемешивание лоренцевых индексов отсутствует, так как (Q/)*
преобразуются так же, как суперзаряды Qа именно
по представлению (0, 1/2) группы Лоренца, но не так, как QM,
преобразуемые по представлению (1/2, 0). Опускание индекса! под знаком
комплексного сопряжения здесь является лишь вопросом обозначений. Две
последовательные операции комплексного сопряжения не меняют результат, а
это означает, что
и, в частности, что й/- обратимая матрица. Преобразуем теперь суперзаряды
{Qa, Qp} = 2(YaC)apPa, [Qa, Ра\ = о, [Qa, •fed] = ~2 (CTcd)a^Qp> [Qa, ===
^ (Yo)a^Qp,
(QAy = bfQAl, (QAl)' = dfkQA".
(&/)* d\ = Ь\
(2.28)
(2.29)
НаЙДеМ веЛИЧИНЫ кпмплрсгнп-гпппяжрнннр Of •
тогда как, используя (2.28), получим
(О'аГ = (V)* (QaiT = (VT d\QAh = qa1.
(2.30)
24 ГЛАВА 2
Таким образом, QV удовлетворяют майорановскому условию, что и
требовалось. Если суперзаряды первоначально не удовлетворяют
майорановскому условию, то можно просто переопределить их так, чтобы они
удовлетворяли этому условию.
Замечание 2. Предположим, что коммутатор [Q/i,Po] имеет вид
[Q* Pa]=e{°aUQ*. (2-31)
где е - комплексное число и для простоты мы опустили индекс i. Переходя к
эрмитово сопряженному выражению (см. приложение А), находим
[Qa 'ра] = ~ *' ЫвлО*- (2.32)
Рассмотрение тождества Якоби [[Q^, Ра], Рь] + ••• -0 приводит к равенству
- \е I2 (oa)Ab (<ЛсЬ - (а - Ь) = 0. (2.33)
Следовательно, е = 0 и мы вновь получаем тождество
[Qa, Pai = 0. (2-34)
Замечание 3. Наиболее общая форма антикоммутатора величин QAi, QBj имеет
вид
{(У*г, Q6j} = - 2/Нг/ (от)лвРт + слагаемые с другими
матрицами Дирака. (2.35)
Переходя от (2.35) к комплексно-сопряженному уравнению и сравнивая эти
уравнения, находим, что U - эрмитова матрица:
(?/',)* = ?/',. (2.36)
Преобразуем суперзаряды
Q'Ai = BljQAi (2.37)
и комплексно-сопряженные суперзаряды
0'А1 = (В,,У0^1. (2.38)
После такого преобразования в выражении (2.35) матрица U заменяется
матрицей
U'ij = BlkUki(B'l)* или Ur = BU В*. (2.39)
Поскольку U - эрмитова матрица, ее можно диагонализировать с помощью
унитарной матрицы В, приведя к виду с,6'/. Заметим, что при этом не
нарушается майорановское условие для
АЛГЕБРА СУПЕРСИММЕТРИИ
25
QAi. Наконец, после преобразования Q* -* (1/д/с*) Q* матрице U
можно придать форму U = d,б1/, где di = ± 1. В действительности, положив
А = В = 1 и t = / = k, приходим к выводу, что правая часть соотношения
(2.35) есть положительно определенный оператор, а так как энергия -iP0
принимается положительной, то находим единственное значение = -f-1.
Окончательный результат имеет вид
{QAi, Q*j} = ~ (om)Ab pm. (2.40)
Замечание 4. Предположим, что суперзаряды Q принадлежат другому
неприводимому представлению группы Лоренца, отличному от (0, 1/2) 0(1/2,
0), например представлению
Qaj ... ап, Bj ... в , где индексы А и В следует понимать как
симметризованные независимо. Для того чтобы суперзаряды Q были нечетными,
число п + т должно быть нечетным; кроме того, должно быть п + т>1.
Выбирая подходящим образом
компоненты антикоммутатора {Q, Q+}, можно найти антикоммутатор,
включающий суперзаряды Qa, ... а в\ ... вт и их эрмитовы сопряжения.
Рассмотрим, в частности, антикоммутатор, содержащий суперзаряд Q = QU ,
, который должен
быть равен элементу со спином п + т > 1. Но согласно теореме
"no-go" Коулмена - Мандулы, в алгебре не может быть такого генератора,
поэтому антикоммутатор должен быть равен нулю, т. е. QQ+ + Q+Q = 0.
Предположив, что пространство, в котором действуют генераторы Q, имеет
положительно определенную норму (например, пространство состояний на
массовой поверхности), мы заключаем, что суперзаряды Q равны нулю. Но
если Q , j- ; рав ны нулю, то Q. . " " также равны нулю в силу
