Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений
ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к
другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы
при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение
[73]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три
следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна
удовлетворять функция V :
а рассматривая три координатных вращения, мы получим три других
соотношения между частными производными того же порядка той же
характеристической функции:
Если мы заменим конечные производные V конечными компонентами импульса, а
начальные производные - начальными компонентами, взятыми с отрицательным
знаком согласно динамическим свойствам этой функции, выраженным
интегралами (С) и (D), то мы изменим также уравнения в частных
производных (О) и (Р) и получим следующее :
(О)
(Р)
и
2 тх' = 2' та'; 2 ту' = 2 mb'; 2' mz' = 2 тс';
(15)
21 т(х/ - ух') = 2m(ab' - Ьа');
21 т (yz1 - zy') = 2' т (be' - cb');
(16)
2 т (zx' - xz1) = 2 m (ca' - ac').
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
185
Следовательно, таким путем мы можем вывести из свойств нашей
характеристической функции шесть других известных интегралов, упомянутых
выше, помимо того седьмого, который содержится в законе живой силы и
который помог нам открыть наш метод.
Введение относительных или полярных координат или других отметок
положения системы [74]
7. Свойство нашей характеристической функции, выражающееся в том, что
она зависит только от внутренних или взаимных отношений между начальными
и конечными положениями точек притягивающейся или отталкивающейся
системы, свидетельствует о преимуществе применения внутренних или
относительных координат. По аналогии с другими применениями
алгебраических методов к исследованиям геометрического типа можно
предполагать, что полярные и другие отметки положения могут также
зачастую оказаться полезными. Предполагая, следовательно, что 3п конечных
координат хх, yv zv ..., хп, уп, zn выражены как 3п функций других
переменных г\ъ щ, ..., и что 3п начальных координат подобным же образом
выражены как функции аналогичных 3п величин, которые мы обозначим ех,
е2,..., е3", перейдем к определению общего метода для введения этих новых
отметок положения в выражения наших основных зависимостей.
Для этой цели нам нужно только преобразовать закон переменного действия
или основную формулу (А) путем преобразования двух сумм:
2 т (х' дх + у' ду + z' dz) и 2 т (а' + b' дЬ + с' дс),
которые она включает и которые соответственно эквивалентны следующим
более развернутым выражениям:
2 т (х' дх 4- у' ду 4- z' Sz) = т1 (х[ дхг 4- у[ дуг 4- z[ dZl) 4-
4- Щ (х2 дх2 4- Уг ^Уг 4" z2 4" • • • 4" } (17) 4- тп (х'п дхп 4- у'п Ьуп
4-24 dzn);
2 т (а' да 4- b' db 4- с' дс) = тх (а[ дах 4- Ь[ дЬг 4- с'х 6cj) 4-
4- т2 (а2 да2 4- b2 дЬ2 4- с2 бс2) 4- ... 4-4- тп (а'п дап 4- Ъ'п дЬп 4-
с'п дсп).
(18)
Теперь, поскольку х,- является, по предположению, функцией Зп новых
отметок положения ..., г\гт его вариация бх, и его производная х\ могут
быть выражены следующим образом:
дх' = дг,1+ + • • • + ; (19> x'i==^h + Пз + +~щк'п'зп ^
и аналогично для у, и z,-. Таким образом, если мы посредством равенств
(20) будем рассматривать х\ как функцию щ, ..., %т включающую в общем
186
У. ГАМИЛЬТОН
также rjv ..., щп, и если мы возьмем ее частные производные первого
порядка по t]'v ..., rj'sn, то мы найдем соотношения
6x1
ёп!
бх,
6rji '
бх,'
Hi
dxi
dV, ' * • • '
Ьх\
bxi
l"l'n 8*1зп
и получим следующие новые выражения для вариаций бх,-, dy,-, dz,-: бх, ¦
(21)
dxl , , W " , , dxl "
dni 1 ' ' ' Ят,:- n '
+ ... +St^zn,
+ "¦ + ~?Ь&Пап'
&Г/о
Szi
drjl
drj:l,
dz<
dtfsn
(22)
Подставляя эти выражения (22) вместо вариаций в сумму (17), мы легко
преобразуем ее в следующую:
2 m (х' бх + У бу + z' 6z) = 2 m (*' % + / + 2' ^г)^1 +
+ 2т{х'% + У'-щ + г'-щ) б%+ ... +
+ 2">{x'$- + y'^ + z:-^)d%n==
6Т х , &Т х
-Ък8г>1 + -щдъ+ •••
дТ о
дщп Ъп '
(23)
Здесь Т - та же величина, что и раньше, а именно, половина конечной живой
силы системы, но теперь рассматриваемая как функция Vi, • • •, Узп и
включающая также массы и в общем случае величины уь..., у3п, полученная
путем подстановки вместо величин х', у', z' их значений вида (20) в
уравнение, определяющее Т:
Т = 2 m (х'2 + У'2 + z'2).
(4)
Подобным же образом мы находим следующее преобразование для суммы (18):
2т(а'да + Ь'дЬ + с'дс) = ^-де1 + -^де2+ ... +^бе3п. (24)
Таким образом, закон переменного действия [формула (А)], будучи выражен
данными более общими координатами или отметками положения, принимает вид
[75]
W = 2^**1 ~2^e+t6H,
(Q)
но вместо групп (С) и (D), на которые распадался этот закон, он дает
теперь совместно с уравнением (Е) другие группы:
dV ёТ ёУ _ dT dV
Ьг)г дт)1 ' 'Щ ёЩп
dV 6Т0 dV _ аг" dV
S'! 1 1 де{ ' dea de'2 без"
бГ
Sj?3" '
аг"
#4.
(R)
