Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 89

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 461 >> Следующая

из 3п уравнений (D) и что результатом этого будет начальное уравнение
живой силы (7) или преобразованное уравнение (G). Поэтому мы можем
рассматривать закон живой силы, который помог нам раскрыть свойства нашей
характеристической функции V, как включенный в эти свойства и
получающийся в каждом частном случае путем исключения из систем (С) и
(D); при рассмотрении любой из этих систем или при проведении любого
другого динамического исследования методом этой характеристической
функции мы вправе использовать уравнения в частных производных (F) и (G),
которым эта функция необходимо должна удовлетворять.
Теперь нам будет легко вывести, как мы и предполагали, известные
уравнения движения (3) второго порядка посредством дифференцирования и
исключения постоянных из нашей промежуточной интегральной системы
182
У. ГАМИЛЬТОН
(С), (Е) или даже из части этой системы, а именно из группы (С) в
сочетании с уравнением (F). Таким образом мы получаем :
d &v . , , а*к , , 6*v
mi Xl ~ Ht Sx7 ~ %1 "3xT X2 sxx Sxs • • • + Xn axT&oT ~*~
d*V , , &V . , 8*v ,
6sV _ 1 &V 8*V
bXj^dzn Щ дхг dx't '
. i 6v a"y , l
mn Sxn бх, Sxn
. i av aay
Щ йУг Sxi ЙУ2 ' ' ¦ ' rnn Ьуп бх, буп 1 6V 6W , 1 SK б*У
+
т1 бг, бх, 6z, тг бг2 бх, бгг тп Ьгп бх, бгп
= ^Г^-гжШ'+Ш'+(т)') = ^<1; + н)' О О
т. е. мы получаем
(12)
ди бх.
Подобным же образом мы можем (при помощи дифференцирования) вывести из
интегралов (С) и из выражения (F) все другие известные дифференциальные
уравнения движения второго порядка, содержащиеся в группе (3), или,
точнее, мы можем сразу же вывести формулу (1), которая содержит все эти
известные уравнения, приняв во внимание, что промежуточные интегралы (С)
вместе с соотношением (F) дают [7а]
2 т (*& + у "У + г "г) = 2 {жЪГ Sx + ЖТУ 6у + VТТ fe) =
+**+*-a.2w{(?)'+№ )¦+(?П-
='2{i*i + l>y-^ + l*i)(u + H) = >u- <13>
5. Теперь мы должны показать, что наша промежуточная интегральная
система, состоящая из уравнений (С) и (Е) с 3п произвольными постоянными
ai> h> сь , ап, bn, сп (включающая также вспомогательную постоянную Я),
совместна с нашей конечной интегральной системой уравнений (D) и (Е),
которая содержит Зп других произвольных постоянных, именно а[, Ь'ъ ...,
ап, Ъ'п, с'. Взяв производные от уравнений (С), (D), (Е) по времени,
получим для первой группы :
d ay " d bv m . d &v
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
183
для второй группы :
d ЙУ = dt да, ~
d
О,
dt db, и '
-L"L = 0
dt дс, и >
d dV
dt da2
d dV
dt S b2
d dV
dt 6c2 -'
О,
О,
О,
JL?s0-
dt ёап и >
d 8V dt ЬЬп
d dV
dt dcn
= 0;
= 0
(0
и, наконец, для последнего уравнения
dt dH ~ 1
(К)
Комбинируя уравнения (С) с (Н) и с соотношением (F), мы вывели в
предыдущем параграфе известные уравнения движения (3) и теперь должны
показать совместность тех же промежуточных интегралов (С) с группой
производных (I), выведенных из конечных интегралов.
Первое уравнение группы (I) может быть развернуто так:
0_у> (tm) IV- *У | ,г>.
и 1 да, дх, + 2 да, 6х2 + ' ' + п да, $хп
+ У1
д*У да, буг
+ У г
д*У да, дуг
+
+ Уп
д2У да, дуп
д*У
+ 4

да, dz, 2 да, dz.
д*У п да,дгп
(14)
другие могут быть развернуты аналогичным образом. Поэтому, для того чтобы
показать, что они удовлетворяются группой (С), достаточно доказать, что
верны следующие уравнения :
О
0:
О
да
2-^ш'+(?г+(т
(L)
где целое число i получает любое значение от 1 до п включительно. Это
можно немедленно показать и получить таким образом требуемую проверку,
для чего достаточно взять вариацию выражения (F) по начальным
координатам, подобно тому как в предыдущей проверке мы брали ее вариацию
по конечным координатам, и таким образом получить результаты, которые
согласуются с известными уравнениями движения и могут быть представлены
следующим образом:
ди
dxi
?-2i{(?)'+(?)¦+(?)¦}-
?2±{(?), + (?Г+.(?Л-
д х-, 1 KdVY . (6KV . fSVVl dU dZi 2, 2m \{ dx ) + [dy J + [ dz J j ~ dzi
'
dU
dyi
(M)
To же отношение (F), когда оно варьируется по величине Н, приводит к
выражению
i,
(N)
а это последнее, будучи развернуто, согласуется с уравнением (К), что
представляет собой новое подтверждение совместности наших предыдущих
результатов. Точно так же не многим труднее было бы, исходя из изложенных
выше принципов, прямо проинтегрировать наши интегралы первого порядка и
таким образом вывести нашу конечную интегральную систему другим способом.
6. Мы сможем считать еще одним подтверждением наших собственных общих
интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не
только известный закон живой силы, но также шесть других известных
интегралов первого порядка : закон движения центра тяжести и закон
площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции
нашей характеристической функции V" с очевидностью следует, что эта
функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или
отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему
стандарту, а только как сравниваемых друг с другом ; следовательно, эта
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed