Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
которую мы будем называть характеристической функцией движения системы, а
уравнение (А), выражающее фундаментальный закон ее вариации, будем
называть уравнением характеристической функции или законом переменного
действия.
3. Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную
живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы
на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бп + 1
величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует
отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы,
может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в
первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными 3п
зависимостями между временем, начальными данными и переменными
координатами всегда дает известные или неизвестные 3п + 1 зависимости,
связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и
конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не
пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия,
которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого
определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими
аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на
то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не
очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие,
рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного
интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они,
по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон
наименьшего действия, а именно: 1) если представить точки или тела
системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных
положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так,
как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или
с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать
какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную
динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая
составляет закон живой силы; 2) если, кроме того, это геометрически
мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться
бесконечно мало от действительного способа движения системы между
заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного
интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы,
находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться
бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда
этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного
действия, применяется к определению фактического движения системы, он
служит только для того, чтобы по правилам вариацион-
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
181
ного исчисления получить дифференциальные уравнения движения второго
порядка, которые всегда можно получить другим путем. Поэтому Лагранж
[6Э], Лаплас и Пуассон [70], по-видимому, не без основания
пренебрежительно отзывались о полезности этого принципа при тогдашнем
состоянии динамики. Возможно, что иной принцип, который вводится в
настоящей работе под названием закона переменного действия, в котором мы
переходим от действительного движения к другому, динамически возможному
движению, варьируя крайние положения системы и (в общем) величину Н, и
который служит для выражения посредством единственной функции не только
дифференциальных уравнений движения, но и их промежуточных и конечных
интегралов, встретит другую оценку.
Проверка предыдущих интегралов
4. Для проверки, которой не следует пренебрегать, и в то же время для
иллюстрации этого нового принципа мы можем вывести известные
дифференциальные уравнения движения из нашей системы промежуточных
интегралов и затем снова показать соответствие их нашей конечной
интегральной системе. В качестве предпосылки к такой проверке полезно
отметить, что конечное уравнение (6) живой силы в сочетании с системой
(С) принимает следующий новый вид [п] :
а начальное уравнение живой силы (7) с помощью (D) принимает вид
(?)¦+(?)¦}-''.+"• (о,
Этим двум уравнениям в частных производных, начальному и конечному,
первого порядка, но второй степени, должна тождественно удовлетворять
характеристическая функция V; они дают (как мы увидим далее) основное
средство для раскрытия формы этой функции V и имеют существенное значение
для ее теории. Если бы форма этой функции была известна, томы могли бы
исключить 3" - 1 начальных координат из 3п уравнений (С), и хотя мы еще
не можем фактически осуществить процесс этого исключения, мы вправе
утверждать, что оно удалит наряду с другими и остающуюся начальную
координату и приведет к уравнению (6) конечной живой силы, которое затем
могло бы быть преобразовано в уравнение (F). Подобным же образом мы можем
заключить, что все 3п конечных координат могут быть совместно исключены
