Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение
[У = Р"' + #
которое должно быть справедливо независимо от t.
В случае, когда время t совсем не входит в отношение скоростей а, р, у,
ясно, что оно не войдет также в уравнение
у' = ра' + qf ;
но тогда значения а, р, у будут гораздо менее общими и может случиться,
что это уравнение будет правильно только, если предположить, что величины
р и q подчинены определенным условиям, т. е. сосуд имеет определенную
форму. Именно это отметил г. Д'Аламбер в замечательном Мемуаре о законах
движения жидкости, напечатанном в первом томе его Opuscules
math^matiques. Но этот ученый Геометр полагает, более того, что если
сосуд будет иметь какую-либо другую форму, то движение жидкости нельзя
будет определять по этому же расчету; в этом-то я и не могу согласиться с
ним, ибо мне кажется, что единственное, что надо было заключить в данном
случае, так это то, что частное предположение, что р = 0 и v = 0
перестанет быть точным и следовательно, значения а, р, у будут зависеть
от общего решения уравнений (к).
Правда, г. Д'Аламбер отмечает, что уравнения р = 0, v = 0 являются
единственно точными уравнениями для определения законов движения
жидкостей; он основывается на том, что скорости а, р, у должны быть
независимы от времени t для частиц, которые текут вдоль стенок сосуда.
Отсюда он заключает, что так должно быть в общем для всех частиц жидкости
; но это следствие, если я осмелюсь это сказать, совсем не кажется мне
достаточно справедливым. Действительно, мне кажется, что очень легко
можно вообразить функции х, у, z такими, что переменная t исчезает из их
выражения только когда х, у, z становятся х', у', z' и связаны уравнением
dz' = pdx' + q dy'.
Вообще, мне кажется безусловным, что, решая уравнения (h), (i) методами,
аналогичными тем, которые я объяснил в статье Recherches sur Ie Son [81],
144
Ж. ЛАГРАНЖ
напечатанной ранее, будем иметь решение, применимое ко всем возможным
случаям, при помощи которого можно будет определить движение жидкостей,
движущихся в сосуде какой-либо формы и получивших вначале любые импульсы.
Трудности могут встретиться только в тех случаях, когда жидкость
разделится при движении и перестанет представлять собой сплошную массу;
но тогда найдя при помощи вычислений (что всегда возможно) места, где
жидкость должна разделиться на много частей, рассмотрим каждую часть
¦отдельно и определим ее движение, считая ее изолированной массой.
В предыдущем параграфе мы заметили, что есть один случай, когда уравнения
ц = 0, v = 0 не являются обязательными для гипотезы, что скорости a, /3,
у могут быть независимы от времени t. Г. Д'Аламбер также отметил это в п.
X своего выше упомянутого Мемуара ; но он находит при помощи своих
формул, что случай, о котором идет речь, именно тот, где имеет место
равенство
в = ас1,
вместо того, чтобы в соответствии с нашими формулами этот случай имел
место, когда
А разница вытекает из маленькой ошибки, которая проскользнула в
вычислениях Д'Аламбера, но, впрочем, не влияет на остальные его
остроумные исследования.
Чтобы показать правильность нашего рассуждения, рассмотрим уравнения г.
Д'Аламбера, которые он дает в п. I упомянутого Мемуара о тяжелых
жидкостях, движущихся в плоскости. Эти уравнения следующие:
dP (i °\
dz dx ' V1 >
d (g - Ввр - A8q - qT) _ d (- SqA - 6pB' - pT) ,00.
_ _ - ; ^ )
где g - тяжесть, в - как и выше некоторая функция времени t; dq и вр
выражают скорости, названные нами а и у, а величины А, В, А', В', Т
таковы, ¦что
d (|Ц) = qT dt + в A dx + в В dz, d (вр) = pT dt + в A' dx + вВ'
dz.
Первое из этих уравнений вытекает из несжимаемости частиц жидкости
и сводится, следовательно, к вышеприведенному уравнению (i), если
приравнять в нем /3 = 0. Что касается второго, то автор выводит его из
того соображения, что горизонтальные и вертикальные силы, теряемые в
каждый момент времени частицами жидкости, должны находиться в равновесии;
эти силы, по его мнению, имеют вид:
g - Ввр - ABq - qT, -BqA' - врВ' - pT ,
что дает по общим законам равновесия жидкостей уравнение, о котором мы
говорим. Итак, я утверждаю, что в соответствии с гипотезами г. Д'Аламбера
надо писать в2 вместо в в выражении заданных сил. Ибо легко видеть, что
эти силы в общем равны
da _ dy
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ 145
а именно,
_ djOg) __ djdp) *> dt ' dt
т. е.
в A dx вВ dz (tm) dA'dx вВ'dz
g _ qT ------------ , -рТ-~
dt dt ' r dt dt
HO
dx = a dt = 0qdt, dz = у dt = 6p dt; следовательно, эти величины будут
g - qT - 6*Aq - в*Вр , -pT - 62A'q - 6*B'p . Таким образом, мы получим
уравнение
dig - вв*р - Ав*д - q Т) _ d (- вгдА' - №рВ' - рТ)
dz dx
из которого время t исчезает только тогда, когда 62 пропорционально Т, т.
е.
Tdt dB
02 02 COnSt ,
отсюда находим, как выше, что
1
а-ы '
в то время как по уравнению г. Д'Аламбера
т
= const,
что дает после интегрирования
= ас',
как это нашел автор.
XLIV. Следствие III. Если вместо рассмотрения скоростей а, /3, у мы
