Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
сил Р, Q, R..., которые действуют по некоторым направлениям, или же под
действием сил П, Q, W, направленных по линиям х, у, z; это легко видеть,
рассматривая значения величин П, Q, W (п. I).
Чтобы глубже изучить уравнения, о которых идет речь, выразим через а, /3,
у скорости каждой частицы жидкости, параллельные координатам
х, у, z, т. е. значения ; разделив на dt, получим
4D7)
40
dy
da
+
40
dz
+
d (РП) _
ay -
d (РП) _ dz
dx
40
da
dx
йР_
dy
+ o+
dx
dy
47
+
+
d (DO) dx
d (D4>) dx
= 0.
(h)
(i)
Из этих уравнений видно, что величины а, /3, у необходимо являются
функциями переменных х, у, z, которые определяют положение частиц в
каждый момент времени, и времени, протекшего с момента начала движения; а
так как ясно, что в момент dt переменные х, у, z получают значения х + a
dt, у + /3 dt, z +у dt, то изменения величин а, /3, у в этот момент будут
не только
da
4ft"
dt,
dt dt Ul '
dy
~dt
dt, но
da ~df dt + da dx adt + da ~dy pdt + da dz
dP dt dt + dj_ dx a dt + dp dy pdt + dp_ dz
dy ~df dt + dy dx a dt + dy 4*7 pdt + dy ~dT
ydt, ydt, ydt,
и такими будут значения da, d/3, dy; следовательно, если подставить эти
значения в уравнения (h) и предположить для большей простоты силы П, Q, W
равными нулю или такими, что
й(РП) __ d (DQ) dy dx
A(DIT) _ d {DW)
dz
dx
и кроме того, плотность D постоянной, то получим, разделив на D и
обозначив все дифференциалы через d, что здесь совершенно безразлично,
d*a dt dy
d2fi dt dx
d2a dt dz
+ a
d2a
+ /*
dx dy
+ "# + /3
i d2" i a
+ a ^7/7 + P
d*a dy2
d2/?
d2y .
- 4 a
dt dx '
dxdz
d2y
dx2
+ P
dx dy
d2a dy dz
d2y dx dy
+ Г + У + У + У
d2a + da da + da dp + da dy
dy dz dx ~dy ~dy dy dz ~dy~
d2P dx dz + dx da dx + dP_ dy dp_ dx + AL dz dy 47
'
d2 a + da da + da dp + da dy
dz2 dx dz 47 dz dz dz
d2y I dy da 1 dy dp_ 1 dy if у
dx dz dx dx "7 dx ^r dz dx '
142
Ж. ЛАГРАНЖ
(к)
Эти уравнения могут быть записаны сокращенно, если положить
da d/J da^ dy ______
dy dx ^ ' dz dx V '
что приведет их к такому виду:
d>* dt* , в dt* df1 da < dP) л. da аУ dP dy n
~dt¦ + " лГ + p ~w + У -W + f1 + ~WJ + ЧГ ~dy - ИГ ~лГ -
U '
*L + a_*L + *±_ + Y*_ + v(^,*L)+JE-JL-4L-dL==o
dt ^ dx ^ p dy ^ y dz + I dx ^ dy J ^ dy dz dy dx
Можно удовлетворить этим двум уравнениям, положив
da af> п da dy п dt3 dy n
**= фГ-Ж = 0' v = lh-lb=0' !t--dj = 0'
в чем легко убедиться; третье из этих условий является очевидно
необходимым следствием двух первых; тогда действительно у нас должны
будут выполняться только два условия, которые можно проще выразить,
сказав, что a dx + /3 dy + у dz должно быть полным дифференциалом; эти
условия, соединенные с тем, которое дает уравнение (i), при замене d на
d, т. е. с уравнением
dx ^ dy dz '
послужат для определения движений жидкости во многих частных случаях.
Эти случаи сводятся к таким, в которых предполагается, что частицы
жидкости описывают неизменные кривые, что имеет место тогда, когда
скорости а, (3, у независимы от времени t, т. е. когда величины а, (3, у
являются просто функциями х, у, z, умноженными на одну и ту же функцию t.
Действительно, пусть в общие уравнения(h) будут подставлены ва, 6(3, ву
вместо ai А У (Я ~ некоторая функция t, а а, (3, у рассматриваются как
неопределенные функции х, у, г без t); тогда, разделив на в2, найдем :
/* ав Л- а ^ Л- /? d/* 4- v М и ( da 4- dP) 4- da dy (tf йУ - П
-W4r + a-d7 + P^r + ylto +^Ur + ^rJ + -&Ч(Г ЖЖ-"'
М. + a*L + в J*- + у ^ + v l- + -dL)+^--d^ --^-^- = 0. <Pdt dx ^ P dy ^
У dz [dx dy) dy dz dy dx
Так как только члены ~ содержат t, то для того, чтобы уравнения
были возможны, необходимо, чтобы зти члены отдельно от всех остальных
были равны нулю; тогда /л = О и v = О, что удовлетворяет оставшейся части
обоих уравнений, как это было показано выше.
Имеется, однако, случай, когда предыдущие уравнения могут быть верны и
без предположения, что р - 0 и v = О ; это - тот случай, когда
т. е. когда
1 de
в* dt ~~ const"
4- = a - bt и в= 1
в a-bt '
. _ и dd v dd
где я и b - две какие-либо константы, так как тогда члены
окажутся совершенно независимыми от времени t, так же, как все другие.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
143
Впрочем, комбинируя уравнения ц = 0, v = 0 с уравнением (i), можно
отделить неопределенные а, р, у и получить
сРа сРа (Ра "
Их* + Ну* + ~W ~~ и '
(РР . Рр d*P _п
dx* dy2 ^ dz* '
<Ру , dPy_ , d*y_ = п
dx* dy* ^ dz*
XLIII. 3 амечание. Когда будут найдены при помощи уравнений предыдущего
параграфа общие значения а, р, у, то, сверх того, надо будет определить
эти значения таким образом, чтобы частицы, соприкасающиеся со стенками
сосуда, в котором движется жидкость, могли бы скользить вдоль этих стенок
; пусть х', у', г' их координаты и
dz' = pdz' + qdy',
уравнение, которое выражает форму данного сосуда ; тогда при подстановке
вместо dx', dy', dz' их значений a'dt, p'dt, y'dt и обозначая через а',
р', у' значения а, р, у, когда х, у, z становятся х', у', г', получим
