Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
точки это значение также равно Tdt, потому что Sdm [d-^ + TIdt) равно
нулю; следовательно, если координаты, соответствующие этой точке,
обозначить через 'х, 'у, 'z, то получим -Т ^У д'у для точного
значения выражения ду и - т ^ г- d'z для аналогичного
выраже-
и dtdz *
ния-нг-&-
В результате этих подстановок найдем
Sdm [(й ? + ял) 5(-& d 6у + ? d te)] -
= - г л(лс + а>+ "'*)-ay + d^<te),
а уравнение (L) перейдет в следующее:
- J + -ё'9 ^ + -w a'z)Tl* - 5-s [<d ^ *? +
+ dmQdtjdy + (d + dmd-^ + dmWdtjdz] = 0, (М)
откуда получим для всех точек нити вообще
d-^ + dm(df + АЛ) = °,
d -I(r) + </01 (к * + 'Р<// | - о ,
и эти уравнения с найденным ранее уравнением
Ч-?) + "-№) + Члг)-(r).
послужат для определения движения нити.
Если в этих уравнениях положить П = - Р, Q = О, W = 0, то они окажутся
такими же, как уравнения из п. XXV, в чем легко убедиться, прибегнув к
очень простому вычислению.
XXX. Схолия I. Теперь, чтобы удовлетворить, наконец, уравнению (М),
положим
+ = О,
т. е. уравнение, относящееся исключительно к начальной точке нити.
Предположим сначала, что эта точка абсолютно неподвижна, тогда ясно, что
д'х = 0, д'у = 0, d'z = 0, а это обратит в нуль все члены уравнения, о
котором идет речь; тогда уравнение, найденное в конце предыдущего
параграфа, окажется достаточным для решения этой задачи.
Но если другой конец нити тоже неподвижен, тогда придется внести
некоторые изменения в эти уравнения. Для этого возьмем снова уравнение
"•* = "¦*-S(?d "у+ -g.d&)
и найдем, проинтегрировав его по частям с прибавлением необходимых
констант,
Обозначим через х', у', г' значения х, у, z, которые соответствуют концу
нити, и отнесем только что найденное уравнение к этой точке; тогда
получим, поменяв местами
*с+<У + ? - ?- ¦Л - s (d f а, + d ? fe) = о.
Интеграл
S(d
берется вдоль всей длины нити. Так как это уравнение справедливо для всех
моментов движения нити, то можно его умножить на dt и взять интеграл
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
133
по времени t; получим, следовательно, применяя для всех членов знак J,
уравнение
которое должно иметь место одновременно с основным уравнением (М);
полагая затем дх', ду', dz', д'х, д'у, d'z равными нулю в соответствии с
гипотезой, приведем это уравнение к следующему виду:
Я умножаю это уравнение на неопределенный коэффициент к и прибавляю к
уравнению (М); так как д'х, д'у, d'z равны нулю, то я получаю
а третье уравнение будет таким же, как в предыдущем параграфе.
XXXI. Схолия II. Уравнение (N), умноженное на неопределенный коэффициент
к и затем прибавленное к уравнению (М), дает вообще
[ [ (dx' дх' + dy' ду' + dz' dz') - (d'x д'х + d'y д'у + d'z d'z) dt -
движения нити те же уравнения, что и в предыдущем параграфе; затем другие
члены, находящиеся под действием только знака J, дадут уравнение
(dx' дх' + dy' ду' + dz' &') - (d'x д'х + d'y д'у + d'z
d'z) dt = 0 ,
откуда можно сделать следующие выводы :
1. Если нить неподвижно закреплена на двух концах, то
д'х, д'у, <5'z, дх', ду', dz'
сами по себе равны нулю, и уравнение, о котором идет речь, не добавляет
ни одного нового условия; это тот же случай, что и в предыдущем
параграфе.
-jS(df ey + diife)di = o, (N)
jS(dA,sy + d-g-&),<i = o.
- J .S' | (VI и^у + dmd-&+ dmOdt+ <!¦?? kdt)"y +
+ (d U^xdz -I- - dm 'I'df + cl кdi\ <>z| = 0,
откуда я нахожу для движения нити :
d U*!х У +im{i % +Ол) + й%к<Н - о,
d-¦Г + (Ч t + W "I) + d kdt = °:,
- {"^[(d U^~ + A-^kdt + dmd^ + drnQdijdy +
+ (d + d^kdt + dmd^f + dmVdt)dz]=0.
Члены, находящиеся под двойным знаком дадут сначала для общего
134
Ж. ЛАГРАНЖ
2. Если закреплен только один конец нити, .то либо б'х, б 'у, 6'z, либо
дх', ду', dz' будут равны нулю; в первом случае останется уравнение
(dx' бх' + dу' ду' + dz' dz') = 0 ,
которое можно удовлетворить, только положив к = 0; во втором - оставшееся
уравнение
- (d'xб'х + d'yд'у -f d'z6'z) dt = 0 необходимо приводит к тому, что
к + Т - О, т. е. Т = - к.
3. Если нить закреплена на одном конце неподвижного круглого стержня,
вдоль которого она может скользить при помощи кольца, а уравнение стержня
в общем виде будет
dz = mdx + ndy,
тогда предположим, что
d'z = 'т д'х + 'п д'у , или dz' = т' дх' + п! ду',
в зависимости от того, будет это начальная или конечная точка нити,
которая описывает данную кривую ; подставляя в приведенное выше уравнение
значение 6'z или 6z', получим из него для первого случая два условия:
d'x + 'md'z = 0, d'y +'я d'z = 0,
и, более того, к = 0, если другой конец нити свободен, а для второго
случая найдем также
dx' + т' dz' = 0, dy' + п' dz' = 0,
и, более того, 7 + к = 0, если начальная точка свободна.
4. Если оба конца нити скользят вдоль обеих кривых, представленных
уравнениями
d'z = 'm d'x + 'п d'y, dz' - m' dx' + n' dy', то, подставляя 'тб'х +
'пб'у вместо 6'z и m'дх' + п'бу'вместо 6z', получим d'x + 'md'z = 0, d'y
+ 'nd'z = 0, dx' + m'dz' = 0, dy' + n'dz' = G.
5. Если оба конца этой нити соединены между собой так, что образуется
