Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 67

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 461 >> Следующая

определяют их взаимное расположение. Таким образом, выражения разностей
df, df, dg,... ни в коем случае не будут содержать разностей дх, ду, dz;
более того, заметим, что эти приращения dx, dy, dz будут совершенно
независимыми от всех разностей дХ, б Т.
Очевидно, что взаимное действие тел зависит только от их относительного
расположения, а именно от линий X, Y, Z, X', Y', Z', X",..., приращения
дХ, dY, dZ, dX', dY', dZ',... будут связаны между собой отношениями,
определяемыми природой задачи. Отсюда следует, что множители при дх, dy,
dz, ... в уравнении (Е) должны быть по отдельности равны нулю. Это дает
три общих уравнения:
Md и dx ds + M'd u' dx' ds' + M" ¦d u" dx" ~Ts"~
¦ + (M + M' + M" +. ..)Pdt = = 0,
Md и dy ds + M'd u' dy' ds' + M" d u" dy" ds" f 1"
• • . + (M + M' + M" + • . .)Q dt = = 0,
Md и dz ds + M'd u' dz' ~dF~ + M" d u" dz" ~ds'~~
+ * * • + (M + M' + M" + • . .)Rdt = = 0.
Так как

ds ds' ds" - dt

и u' a"

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
127
то, следовательно, эти уравнения примут вид
d у (М у М' у М" у ...)Pdt = О,
d -Mdy ¦ M d?'dt M"df : ••• + (M + M' + M" + ...)Qdt = 0,
+ + (M + M, + M" + _ _ 0/?л = 0;
отсюда видно, что если в каждый момент времени взять в системе одну
точку, положение которой будет определяться тремя координатами - одной,
параллельной х и равной
MX + М'х' + М'х" + ...
м~ + мчй'Т--" ' '
другой, параллельной у и равной
Му у М'у' + М"у" + ...
~"~М~уМ'+ М"~+77.~
и третьей, параллельной z и равной
Mz + M'z' + M"z" + ...
м + м^Т/vr+"~-7- '
то эта точка будет двигаться просто как тело, подверженное действию трех
сил Р, Q, R. Кроме того, очевидно, что эта точка будет не чем иным, как
центром тяжести системы, т. е. всех составляющих ее тел М, М',...
XI. Второй случай. Возьмем, как в п. IV, вместо двух прямоугольных
координат х и у радиус-вектор х с углом ер, и пусть другие координаты х',
у', х", у",... будут заменены радиусами-векторами х', х",выходящими из
той же неподвижной точки, что и луч х с соответственными углами 9/,
гр",..., взятыми в той же плоскости, что и угол ер. Как в п. IV, найдем
^ ^________ х2 d<p d dip + х d<p2 дх у- dx d дх + dz d dz
ds
а также
^ x'2 dtp'd dtp' -f x' d<p'2 dx' + dx'd dx' + dz'd dz'
ds' '
^ ^r" x"2 d<p'' d d<p" y- x" d<p"2 dx" -j- dx" d dx" + dz" d dz"
ds"
и т. д. Подставим эти значения в уравнение (D) п. VIII и, проделав те же
сокращения, что и в п. IV, получим
Mdu^,fd<P у
+ М [d*? - * ) дх + Md "?-dz +
+ M'd u'x''fr дер' УМ' (d^f - ) dx' + M'd dz' +
+ M" d йХ- дер" ум" [d^~- - dx"yM"d -~^-dz" у
У (Миди У М'и' ди' У M'W ди" У ...) dt j = 0.
128
Ж. ЛАГРАНЖ
В этом уравнении я отобрал все члены, стоящие вне знака J, потому что они
обращаются в нуль, если предположить, что начальная и конечная точки
траектории заданы. Это уравнение, аналогичное уравнению (Е) из п. IX,
потребует только операций, подобных выполненным в этом параграфе для
нахождения движения каждого тела. Примеры этому мы найдем в следующих
задачах.
XII. Следствие. Если система совершенно свободна или если она вынуждена
двигаться вокруг неподвижной точки и все действующие на тела силы
направлены к этой точке, то, принимая ее за центр радиусов-векторов х,
х', х",... и полагая
<р' = <р + Ф, tp" = <р -j- Ф',,,,
легко видеть, что 69? будет совершенно независимо от других разностей ЬФ,
ёФ',..., дх, дх', дх",..., каково бы ни было взаимодействие тел; кроме
того, очевидно, что все разности dp, dq, df,..., которые входят в
значение
Миди + М'и' ди',...,
будут также независимы от разности д<р. Отсюда следует, что все члены
уравнения (F), которые стоят при разностях dtp, должны быть после
подстановки д<р + дФ, д(р + дФ',... на место д<р', д<р",... равны нулю
отдельно от остальной части уравнения ; после исключения dq? получим
уравнение
Md + М'd ¦ + м" d+ ... = О,
ds ds ds 1 '
интеграл которого будет
Mux2d<p , М'и'х'2 dip' , М"и"х"2 dip"
-+ d? +-------------------------<&- + • • • = COnSt-
Подставив dt вместо ... в знаменателе и обозначив через Н кон-
станту, найдем
Мх2 dip + М'х'2 dq?' + М"х"2 dip" + ... = Hdt.
Интегрируя снова, получим
М j x2dq? + М' J x'2dip' +М"§ x"2dq>" + ... =Ht.
Очевидно, что интеграл
J x2dq?
выражает площадь, которую проекция тела М описывает вокруг центра сил, а
другие интегралы,
J x?2d<p', Jx"2dip", ...,
выражают площади, описанные проекциями других тел М', М",... вокруг того
же центра. Следовательно, сумма этих площадей, помноженных каждая на
массу описывающего их тела, всегда пропорциональна времени.
Читатель, который полюбопытствует посмотреть доказательство этой теоремы,
выведенной из принципов Механики, найдет его в Мемуаре г. кавалера
д'Арси, изданном в Мемуарах Парижской Королевской Академии наук в 1747
г.; там же он найдет применение этой теоремы при решении многих задач
Динамики.
В заключение мы заметим, что уравнение (G) содержит принцип, который гг.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed