Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь, если предположить, как в п. II, что начальная и конечная точки
траектории заданы, то становится ясно, что дер, дх, dz, которые им
соответствуют, будут равны нулю и, следовательно, три последних члена
этого уравнения тоже обратятся в нуль. Итак, чтобы удовлетворить
оставшейся части этого уравнения, независимо от произвольных разностей
дер, дх, dz, надо положить коэффициенты при них равными нулю и тогда
получим общие уравнения движения тел :
d..a*J?E- + Qdt = 0, d-^--l^f- + ndt = 0, d-~f~ + Vdt = 0.
ds
Подставив в эти уравнения dt вместо - и проинтегрировав первое из них,
х2 d<p
помножив его предварительно на -jt получим
2
откуда
dt =
Н4г)2 = й2-1йхг^ '
х2 dip
V~2a2 -2\Qx2dy '
подставляя это значение во второе уравнение и полагая для сокращения
f2 а2 - 2 § сох2 dtp = U,
будем иметь
, U dx U dip Пх2 dtp л
x2dtp х "+ и ~ и
или, заменяя через у, получим
-''^-^<'1+4^=°'
122
Ж. ЛАГРАНЖ
что по дифференцировании дает, считая d<p константой и умножая на
d U , , , . П d<p2 п
-d2y д- dy-у d<p2 + -дф- = 0 ,
потому что
du Ox3 d<p Q d<p
-д- - gY- - -fJiyT >
Я + Ddy
-dy -yd(p2+ -g^- d<p2 = 0,
уравнение, применимое для многих частных случаев. Наконец, третье
уравнение, умноженное на и затем проинтегрированное, дает
2^ = b*-$ydz.
Отсюда исключим значение dt. Сравнив с найденным выше, получим уравнение
dz d<p
};2b2 - 2 \Ч' dz _ Яу2
V. Следствие. Если тело вынуждено двигаться по поверхности данной
кривизны, то, характеризуя эту поверхность с помощью трех переменных х,
<р, z и предполагая ее выраженной уравнением
dz = pd(p +qdx,
подставим в уравнение (С) р Ь<р + q дх вместо dz, затем приравняем нулю
коэффициенты при бх и 699 и получим:
d их^(р +Qdt+ (d "(/f + W dt} p = 0 , d :,J'X - axc^ +ndt + {d u^ + Wdt)q
= 0.
VI. Примечание I. Мы предположили, что силы Р, Q, суть
какие-либо функции расстояний р, q, г,... ; однако легко доказать при
помощи принципов Динамики, что найденные уравнения являются общими для
всех видов ускоряющих сил. В этом можно убедиться, заметив, что
упомянутые уравнения не содержат закона, согласно которому силы P,Q,R,...
возрастают или убывают, но содержат только величины и мгновенные
направления этих сил, как это легко увидеть, подставив вместо П,0
и W их
значения. В итоге анализа предыдущих решений становится ясно, что
гипотеза
Р = fonct р, Q = fonct q, R = fonct r, ...
служит только для приравнивания нулю интегрального выражения
f (бР dp - dP бр -j- 6Q dq - dQ dq + dR dr - dR dr ...).
Впрочем, для этого было бы достаточно, чтобы величины Р, Q, R,... были
связаны так:
дР dp - dP dp -j- 6Q dq - dQ dq + dR dr - dR dr + ... = 0;
пусть тогда P,Q, R, ... - какие-либо функции p, q, r, ... такие, что rio
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ 123
дифференцировании
dP = A dp + В dq + С dr + ... ,
dQ = D dp + E dq + F dr + ... ,
dR - G dp -f- H dq -f- / dr
¦ясно, что равным образом имеем
dP = Adp + Bdq + С dr + ... ,
dQ = Ddp + Edq+ Fdr+ ... ,
dR - G бр + H dq + / dr + ...
Подставляя эти значения в условное уравнение и сократив его, получим {В-
D) (dp dq - dq dp) + (C-G) (dp dr - dr dp) + (F-H) (dq dr - dr dq) = 0, -
следовательно,
B-D = 0, С - G = 0, F-H = 0,
или
dP __ JQ dP_ __ dR jlQ_ __ dR^
dq dp ' dr dp ' dr dq '
T. e. Pdp + Q dq + R dr + ... является полным дифференциалом. Если это
условие имеет место - значение и 5и будет равно
-Р dp - Q dq - R dr - ... ;
иначе говоря, нужно еще принять во внимание интеграл
$(dPdp-dPdp+ ...),
чтобы сделать формулу J и ds настоящим максимумом или минимумом, но
уравнения, которые будут найдены в этом случае, не будут истинными
уравнениями движения тела.
VII. Примечание II. Это единственная задача, к которой г. Эйлер применил
свой принцип. Он также решил ее для двух случаев: случая прямоугольных
координат и случая радиусов, выходящих из неподвижного центра. Однако для
сравнения его решений с нашими нужно заметить :
1. Что г. Эйлер рассматривал только кривые простой кривизны.
2. Что он искал максимум или минимум формулы J и ds, учитывая только
переменность ординаты у в первом случае и переменность угла,
обозначенного нами ер, во втором случае (см. Приложение, цитированное в
начале этого Мемуара).
Следует добавить, что при помощи нашего метода можно найти решение этой
задачи многими другими способами в зависимости от разных видов координат,
которые будут избраны для представления искомой траектории.
VIII. Задача II общая. Пусть имеется какая-либо система, состоящая из
многих тел М, М', М",..., которые подвержены действию скольких угодно
центральных сил, а именно :
Л4 - действию сил Р, Q, R,... ,
М' - действию сил Р', Q', R',... ,
Мдействию сил Р", Q", Р",. .. ,
и пусть эти тела сверх того действуют друг на друга какими-либо
силами
взаимного притяжения ; найти движение каждого из этих тел. Решение: Все
сводится к тому, чтобы привести выражение
М j и ds +. М' J и' ds' + М" J и" ds" + ...
124
Ж. ЛАГРАНЖ
к максимуму или минимуму. Тогда, по нашему методу,
