Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 64

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 461 >> Следующая

и ди = - Р dp - Q dq - R dr - ...
. . • + J (dP dp - dP dp + dQ dq - dQ dq + dR dr - dR dr +...). Тогда
согласно гипотезе
P = fonct p , Q = fonct q , R = fonct r, .. . ;
дифференцируя, найдем
<)P _ dP JQ _ dQ JR dR
dp dp ' dq dq ' Sr dr '
и, следовательно,
dP dp - dP dp = 0, dQ dq - dQ dq = 0, dR dr - dR <3 r= 0, ...
Тогда
udu= -P dp - Qdq-Rdr - .. . и duds = -P dtdp - Qdtdq-Rdtdr - ... ds
Подставляя вместо равное ему dt, преобразуем приведенное выше уравнение в
следующее:
[ (ц (3 rfs - Р dtdp - Qdtdq - Rdtdr - ...) = 0. (А)
Теперь нужно найти отношения разностей 8р, dq, дг,..8ds, что может
быть сделано различными способами в зависимости от вида координат, с
помощью которых представляются траектории. Возьмем сначала прямоугольные
координаты х, у, z ; в этом случае
ds = fdx2 + dy2 + dz2,
dx d dx + dy d dy + dzd dz dx d 6x + dy d dy -f dzdSz следовательно,
получим --------------js---------=--------------(js--------- ,
заменяя 8 dx на d dx; тогда
I u6dS = I [Udf ddX + Udf ddy + Uds- ddZ) •
Исключая из этого выражения дифференциалы величин 8х, 8у, dz методом
интегрирования по частям, использованным в предыдущем Мемуаре, получим
следующее преобразование:
' "<3 ds = - J {d Urff дх +d"Zdy + d Udf dz) +
, udx , . udy s , и dz s
+ -ds- dX+~dTdy+- d-s-6z-
Теперь остается только выразить разности dp, dq, dr,... через dx, dy, dz.
Для этого надо найти аналитические выражения линий р, q, г, при помощи
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ Ц9
координат х, у, г, и определить их дифференциалы, заменяя 3 на d.
Предположим в общем случае, что
dp = I dx + I dy + Xdz,
dq = M dx + mdy p. dz,
dr = N dx + n dy + v dz;
ясно, что будет также
ёр = L ёх + I б у + X ёг , бq = М дх + т ёу р ёг , ёг = М ёх + п ёу v ёz.
Следовательно, если положить для краткости
PL + QM + RN = П,
PI + Qm+Rn=Q,
РХ + Qp +Rv =W,
то получим
Р ёр + Q dq R ёг + ... = П ёх + Q ёу + W ёг.
После этих подстановок уравнение (А) примет следующий вид:
- J [ (" -ж-+ndt)дх + (" +Qdt) 'у+(" ^ + Vdt)fe] +
+ Tta + T',>' + T&"0- <в>
Это уравнение должно иметь место, какие бы значения ни придавались
разностям дх, ду, dz; поэтому имеем три следующих уравнения:
d^-+ndt = О, d -р- + Q dt = 0,
ds
dup- + 'Fdt = 0.
as
Именно эти уравнения будут служить для определения кривой, описанной
телом М, и его скорости в каждый момент времени.
Если подставить dt вместоумножить первое уравнение на d*-, второе
dy dz
на третье на-^- и затем проинтегрировать их, то получим
¦т** - S ° "у • гш-"*-1 * * •
откуда, исключив dt и извлекая квадратный корень, получим уравнения
dx dy
I а- - J II dx 1 b1 - J О dy dx _ dz I a- - j IT dx \ c* - i lP dz '
120
Ж. ЛАГРАНЖ
где неизвестные будут разделены, если
П = fonctх, Q = fonct у, V7 = fonctz.
II. Замечание. Что касается членов
udx s . udv " . udz s
~!Tdx + ^rdy+~ds~dz'
то их можно не принимать во внимание, предположив, что оба конца
траектории заданы, так как предположение приводит к исчезновению
начальных и конечных бх, б у, dz и, следовательно, всех упомянутых членов
(см. п. IV предыдущего Мемуара).
III. Следствие. Представим себе, что подвижное тело М, подверженное
действию тех же сил Р, Q, R,..., вынуждено двигаться по искривленной
поверхности, определяемой уравнением dz - pdx qdy ; заменяя
d на б, получим dz = р dx + q dy, а подставляя это значение dz
в уравнение
(В) и приравнивая коэффициенты при dx и бу нулю, получим два уравнения :
d ^ + пdt + [d + V dt) р = о,
d^+Qdt + [d^- + 4^dt]q = О,
которые, вместе с заданным уравнением
dz = pdx + qdy,
достаточны для решения задачи.
IV. Д р у г о е решение. Вместо двух прямоугольных координат х, у возьмем
переменный радиус х, который вращается вокруг неподвижной точки в той же
плоскости х-в. и у-в и положение которого в каждый момент определяется
углом <р. Сохраняя третью координату z, которую надо представить себе
проведенной из конца радиуса х перпендикулярно к плоскости угла <р, легко
найти, что элемент кривой ds будет •
Ух2 d<p2 + dx2 + dz2 ; тогда, дифференцируя, получим
^ ^ х2 dq>S d<p + х dtp2 dx + dx 8 dx + dz 8 dz
ds
x2 d<p d 8<p + x drp2 dx + dx d dx + dz d dz
~ ds
Подставляя это значение в интегральную формулу J и б ds и исключая
дифференциалы величин dtp, dx, dz, получим обычным путем интегрирования
по частям
После подстановки этого значения J ud ds в уравнение (А) п. I останется
только привести разности dp, dq, dr,... к разностям dx, dy, dz. Для этого
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
121
предположим в общем случае, что
dp - L dx -f- I d<p + X dz, dq = M dx + md<p + pdz, dr = N dx + n d<p +v
dz,
а также
dp = L dx + I dep X dz, dq =- M dx -f- m dp -f- p dz, dr - N dx + n dip -
f v dz.
Следовательно, если сделать те же предположения, что и при предыдущем
решении, то получим также
Р dp -f- Q dq -f- R dz -f- ... = П dx -f- & dcp -f- W dz,
а уравнение (А) окончательно примет вид:
-1 К* +¦Q<")^+(" тг - -nF-+пл,\ix+
+ ^l?i+Vdl)dz}+^^if + ^dx+^dz = 0. (С)
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed