Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
изменение, происшедшее в природе, состоит в том, что А потеряло скорость
а - х, а тело В приобрело скорость х - Ь, следовательно, количество
действия, необходимое для произведения этого изменения, которое следует
приравнивать минимуму, есть А (а - х)2 + В (х - tif, что и дает обычную
фор-
113
мулу удара твердых тел -Все это весьма справедливо. Но все зависит также
от смысла, который хотят придать словам "изменение, происшедшее в
природе": разве нельзя сказать, что происшедшее изменение состоит в том,
что тело А, имевшее до удара количество действия или силы Ааа, меняет его
после удара на количество Ахх, и аналогично тело В и, таким образом, что
Ааа - Ахх есть изменение, происшедшее в теле А, а Вхх - Bbb - изменение,
происшедшее в теле В. Так что количество действия, вызвавшее это
изменение, будет Ааа - Ахх Вхх - Bbb. Между тем, это количество,
приравненное минимуму, не дает более вышеприведенного закона удара
твердых тел. Вот одно возражение, которое можно сделать г. Мопертюи и
которое ему почти что было сделано, с той лишь разницей, что Ахх - Ааа А-
-f- Вхх -• Bbb предположили равным минимуму, вычитая количество Ааа - -
Ахх из количества Вхх - Bbb, вместо того, чтобы его прибавить, как
повидимому, также можно было бы сделать, потому что оба количества Ааа -
Ахх и Вхх - Bbb положительны, хотя одно должно быть вычитаемо из Ааа, а
второе прибавляемо к Bbb, и могут быть сложены вместе независимо от
направления, в котором они действуют. Как бы то ни было, кажется, что
можно было бы примирить или избежать всякой трудности в этом вопросе,
ставя вместо слов "изменение в природе", которые заключены в условии
теоремы г. Мопертюи, слова "изменение в скорости"; тогда введенная им
действительная двусмысленность не будет больше иметь места.
Мы не допускаем, что здесь в вычислении г. Мопертюи количество действия
смешивается с количеством живой силы: действительно, если предположить
время одинаковым, как это сделано в данном случае, то оба эти количества
будут пропорциональны друг другу, и можно сказать, что количество
действия никогда не следует смешивать с живой силой, потому что, согласно
определению г. Мопертюи, время входит в количество действия. Кроме того,
в случае твердых тел, поскольку изменение происходит в неделимый момент -
время, равное нулю, - постольку не будет никакого действия. На это
возражение можно ответить, что когда тело движется или стремится
двигаться с некоторой скоростью, всегда имеется действительное или
возможное количество действия, которое будет соответствовать его
движению, если бы оно двигалось равномерно с этой скоростью в течение
некоторого времени. Таким образом, вместо слов: "количество действия,
необходимого для произведения этого изменения" можно поставить слова:
"количество движения, соответствующее этому изменению", и дать, таким
образом, правило г. Мопертюи: "В производимом ударом изменении в скорости
тел количество действия, которое будет отвечать этому изменению, есть
наименьшее возможное, предполагая время постоянным". Мы говорим:
"предполагая время постоянным"; эта модификация и, даже если угодно,
ограничение необходима по двум соображениям:
1) потому что при ударе твердых тел, где, строго говоря, время равно
нулю, предположения, что время постоянно или переменно, - оба являются
предположениями равно произвольными, и нужно, следовательно, принимать
одно из них;
2) потому что при ударе упругих тел изменение происходит в конечное
время, хотя и весьма малое, не равное нулю. По крайней мере весьма
вероятно, что это время не одно и то же при разных ударах. Таким образом,
здесь еще более необходимо выдвинуть предположение, о котором идет речь.
Действительно, время, которое здесь предполагается постоянным, есть
время, взятое произвольно и совершенно не зависящее от времени, в течение
которого сообщается движение; за истинное количество действия,
употребленного на происшедшее изменение, можно принять сумму малых
количеств
8 Вариационные принципы механики
114
Ж. Д'АЛАМБЕР
действий, затраченных за время, в течение которого усилие возникает и
исчезает. Может быть, скажут, что в этом случае г. Мопертюи должен был
воспользоваться словом живая сила вместо слова действие, ибо время,
собственно говоря, здесь не играет роли. На это он, без сомнения,
возразит, что он считал возможным связать этот закон в одно общее
выражение с законом, который он установил для преломления. Если здесь
заменить слово живая сила словом действие, все же окажется правильным,
что г. Мопертюи первый свел удар твердых и упругих тел к одному закону; и
это - самое главное; впрочем, и его теорема о преломлении ничего от этого
не теряет. Безусловный факт, что общие законы движения были найдены без
этого принципа, но, быть может, полезно показать, как он к ним
применяется. Ясно, что, будучи так применен, этот принцип будет и может
быть только каким-либо другим уже известным, но иначе изложенным
