Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует элемент кривой f dp; следовательно, ее усилие будет
J
Еф Ef
- ¦ f.dp = -т^- рр.
Ef
LXIII. Следовательно, сумма усилий равна Ах + -^-рр; для состояния
равновесия необходимо, чтобы Adx-F^~-pdp = 0. Но если рычаг достиг
ближайшего состояния Оа, точка А будет перенесена в а по дуге Аа = adp;
полагая длину рычага О А = а и проведя горизонтальную линию ар, мы
получим dx = - Ар ; но если угол а Ар = ВО А = р, получим Ар = - a dp -
cos р, откуда
Ef
- Аа dp cos р ----- р dp = О
или
л Ef
Аа cos р = -~р.
Очевидно, это -верное условие равновесия, ибо Аа cos р выражает момент
Ef Еф
силы АР = А относительно точки О тл-'-р = --/ - момент силы пружины ; и
эти моменты должны быть равны между собой.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ Ш'ИЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 95
LXIV. Отсюда очевидно обратное : усилие пружины, которое мы только
что нашли равным -Щр<р<р, выражено верно; и, следовательно, убеждаемся
также в справедливости правила Бернулли, которое я пояснил в упомянутых
своих Мемуарах, чтобы найти усилие упругости упругих кривых. Ибо
выражает то, что я назвал там абсолютной упругостью, и так как угол
ВОА = р тамбе сконечно мал, то он будет обратно пропорционален радиусу
развертки [ la developpee ]; следовательно, если положим этот радиус
равным г, то усилие упругости будет выражено в виде если принять С
произвольной постоянной. Это и есть точное выражение Бернулли, которым я
воспользовался в упомянутом месте.
Л. ЭЙЛЕР
ДИССЕРТАЦИЯ О ПРИНЦИПЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ, с разбором возражений
славнейшего проф. Кёнига, выдвинутых против этого принципа [** ]
Берлин, 1753
Те, которые до сих пор приняли участие в споре, возникшем по поводу
принципа наименьшего действия, большею частью имели весьма превратное
мнение об обсуждавшихся по этому поводу вопросах. Сначала ведь речь шла
единственно лишь об известном отрывке письма, приписанном Лейбницу, и
Академия решила не брать на себя разбора ни одного другого из
многочисленных вопросов, поднятых Кёнигом. Впоследствии, однако, в
сочинениях, изданных проф. Кёнигом и его покровителями, не только
подвергается необдуманным нападкам суждение Академии по этому
первоначальному вопросу, но также безосновательно порицается и
объявляется не соответствующим истине самый принцип знаменитейшего
президента, устанавливающий, что природа во всех своих проявлениях
пользуется наименьшей затратой действия. Итак, чтобы дать отпор этим
злонамеренным судьям, мы решили выступить здесь перед публикой с двумя
диссертациями, первая из которых посвящена изложению сущности принципа
наименьшего действия, вторая же опровергает возражения, выдвинутые сл.
проф. Кёнигом против этого принципа. Хотя обе эти диссертации, поскольку
они были зачитаны в Академии, должны быть опубликованы в ее "Записках",
однако, поскольку сл. профессор грозиться издать отдельное сочинение
против этого принципа, мы сочли разумным ускорить публикацию этих
диссертаций, чтобы, с одной стороны, утвердить истинность самого принципа
и укрепить его против выдвинутых ранее возражений, и, с другой стороны,
чтобы самому противнику полнее изложить существо вопроса, по которому он
нападает.
В первой диссертации тщательно исследовано то, что было известно
философам, как древним, так и новейшим, об этом принципе бережливости, и
ясно показано, что среди них нет и не было такого, кто с точностью познал
бы этот принцип, хотя многие действительно подозревали наличие в природе
такого принципа. Доказано, что и те, у которых знаменитый президент, -
как в этом его обвиняет сл. профессор, - почерпнул свой принцип, были
весьма далеки от познания такого всеобщего принципа, хотя не отрицается,
что и этим авторам и другим были известны некоторые частные принципы,
которые могут иметь место лишь в очень немногих случаях. Ведь вся сила
принципа знаменитого Мопертюи состоит именно в крайней всеобщности. Ибо
если бы он был приложил! лишь к отдельным случаям, мы легко согласились
бы со сл. профессором и его защитниками, что невелика будет слава такого
открытия. Отсюда мы утверждаем, что будь этот принцип верен или не верен,
открытие его не может быть приписано никому другому, кроме
ДИССЕРТАЦИЯ О ПРИНЦИПЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
97
как знаменитому президенту. Но помимо этого в той же диссертации
достаточно ясно доказана истинность этого принципа, насколько это можно
было сделать без средств, уводящих слишком глубоко в анализ. Наиболее
полное же доказательство изложено в особом сочинении, представленном
Академии.
Итак, остается только опровергнуть возражения сл. профессора против этого
принципа. А это будет подробно рассмотрено во второй диссертации, ибо
ведь и сам он, и его покровители постоянно кричат, будто в статье Кёнига,
помещенной в Acta Lipsiensia, принцип знаменитого президента разрушен до
основания убедительнейшими доказательствами, притом не метафизическими, а
геометрическими. Тем более я счел необходимым тщательнейшим образом
