Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, имеются всевозможные основания для того, чтобы
рассматривать этот принцип как важнейшее открытие в Механике.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 93
LIV. Во всех случаях равновесия, которые я до сих пор исследовал с
помощью этого принципа, сумма усилий являлась бесспорно минимумом; но
имеются также случаи равновесия, где сумма усилий становится максимумом.
Ибо следует заметить, что силы должны обязательно поддерживаться в
равновесии как в одном, так и в другом случае, т. е. как тогда, когда
сумма их усилий является максимумом, так и тогда, когда она является
минимумом. Но равновесие, которое получается в случае максимума, имеет
совершенно другую природу, чем равновесие в случае минимума. Получается
приблизительно такая же разница, как между равновесием конуса,
покоящегося на основании, и равновесием конуса, покоящегося на своей
вершине ; и тот и другой случаи возможны, но первый соответствует
минимуму, а второй - максимуму.
LVII. Так как метод тот же самый, то хотят ли найти максимум или минимум,
наш общий принцип одинаково приводит к равновесиям того и другого рода,
хотя они существенно различаются между собой. Разница такая же, какая
имеется между двумя упомянутыми положениями конуса, ибо равновесие,
которое получается из минимума, таково, что когда производится бесконечно
малое изменение, равновесие восстанавливается само собой. Вместо этого
равновесие, в котором сумма усилий является максимумом, не только не
восстанавливается после такого изменения, но нарушается все больше и
больше. Так, конус, покоящийся на своей вершине, падает, едва только его
коснутся.
LVIII. Чтобы привести пример, в котором усилие является максимумом, я
припомнил особый случай, предложенный мне некогда. Пусть CD является
фиксированной стенкой (рис. 12), на которую нужно опереть рычаг АВ так,
чтобы, поддерживаясь на фиксированной точке О и подвергаясь в А действию
веса Р, он оставался в равновесии. Допустим, что стенки и точка
совершенно гладкие, так что рычаг может свободно скользить, не испытывая
при этом ни малейшего трения; допустим также, если угодно, что рычаг
невесом, так что, кроме веса Р, нет другой силы, действующей на него;
легко свести к этому случаю тот, в котором рычаг является тяжелым. Этот
случай, который к тому же не так легко решить с помощью обыкновенных
принципов Механики, замечателен в том отношении, что может быть
употреблен для нахождения двух средних пропорциональных двух заданных
линий.
LIX. Пусть, следовательно, длина рычага АВ = а; расстояние опоры О до
стенки ОЕ = b; вес или сила, с которой конец А увлекается вниз, равен Р
или, что то же самое, допустим, что точка А притягивается этой силой к
фиксированной точке F, взятой на линии EOF. Полагая, следовательно,
расстояние AF = г, получим усилие Рг, которое, становясь максимумом, дает
Р dz или dz = 0; ибо очевидно, что расстояние AF может быть только
минимумом ввиду того, что скользит ли конец В вверх или вниз, расстояние
AF может становиться совсем малым.
LX. Чтобы раскрыть этот случай равновесия, положим часть рычага О В между
стенкой и опорой, равной х, и в силу того, что ОЕ = Ъ, получим BE = V (хх
- bb). Следовательно, так как АО = а - х, получим О В : BE = = ОА:AF и
A F - z = ---= У у (хх _ щ _ у (хх - ЬЬ) ,
94
Л. ЭЙЛЕР
откуда выводим :
abb dx х dx__ dx (abb - x3)
dz =
xx
У (xx - bb) У (XX - bb) XX у (XX - bb)
Следовательно, необходимо, чтобы x3 = abb или x = ^abb, т. e. часть OB
будет первой из двух средних пропорциональных между линиями ОЕ и АВ. Но
это же самое решение получается также с помощью обыкновенных принципов
Механики.
LXI. Рассмотрев здесь постоянные силы, добавим несколько слов о силах
переменных и в частности, о силе пружин ; здесь будет содержаться правило
Бернулли, которое я объяснил в своих Мемуарах в IV томе Мёш. de l'Acad. и
которое относится к нахождению усилий упругих сил. Пусть АО - рычаг,
движущийся вокруг точки О, прикрепленной к фиксированному потолку ОВ с
помощью пружины ЕЕ в форме дуги круга с центром в О. Допустим, что сила
пружины пропорциональна углу ВО А, так что рычаг увлекается ею всегда
перпендикулярно в точке F. Пусть тот же самый рычаг натягивается вниз
постоянной силой АР в точке Р. Требуется найти условия, при которых этот
рычаг будет в равновесии (рис. 13).
LXII. Пусть линия О В горизонтальна, а q АР вертикальна ; полагая силу АР
= А расстояние АР, взятое от точки А до фиксированной точки Р в одном и
том же направлении, равным х, найдем, что усилие этой силы [25 ] равно
Ах. Но чтобы найти усилие силы пружины, положим угол ВО А = <р ; тогда
сила пружины в этом Еф
состоянии равна --, если предположить, что
ее сила для постоянного угла а есть Е. Пусть, кроме того, интервал ОЕ =
OF = /. Но в то время как рычаг продвинется на бесконечно малый угол АОа
= йср, пружина растянется на
длину Ff = / dtp. Следовательно, мы получим силу, равную , которой
