Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть угол наклона плоскости EFG - у, а угол ВОЕ, составленный
направлением силы ОВ с плоскостью наклона FE, равен 8 ; вес тела или
сила, которая увлекает его вниз по вертикали О А, равна А, а сила В,
которая его поддерживает, равна В. Обозначим расстояние О А - х и ОВ = у;
сумма усилий этих двух сил будет равна Ах + By, и она должна быть
наименьшей; следовательно, Adx -у В dy - 0.
L. Пусть тело О бесконечно мало меняет положение на наклонной плоскости и
переходит в точку о, продвинувшись вперед на Оо = ds. Проведем из точки о
на О А перпендикуляр оа и из О на Во - перпендикуляр ОЬ; ясно, что после
этого изменения получим : Оа = - dx и ob = dy. Но так
как угол Ооа = у, получим Оа = r F = ds sin у, а угол
ОоЬ - ЕОВ = 8
даст ОВ = ds cos 8, так что dx = = -dssiny и dy = ds cos 8.
Следовательно, для состояния равновесия
¦? Я необходимо, чтобы Ads sin у -f-
' +В ds cos 8 = 0 или Л sin у = В
sin 8 ; иначе говоря, сила ОВ должна относиться к весу тела О, Н как
синус подъема наклонной
рис. и плоскости к косинусу угла ЕОВ,
образованного направлением силы ОВ с наклонной плоскостью. Это же самое
свойство получается из обыкновенных принципов Статики.
LI. Этого, может быть, было бы достаточно, чтобы показать, что все случаи
равновесия, которые объясняются в Статике, весьма естественно вытекают из
нашего принципа, так что с помощью только этого принципа
92
Л. ЭЙЛЕР
вся Статика могла бы получить полное завершение. Однако я еще замечу, что
условия, необходимые для равновесия, этот принцип доставляет часто
намного быстрее, чем обыкновенные принципы. Ибо, пользуясь в сложных
случаях обычными принципами, нужно в каждой комбинации сил, дейст-
вующихдруг на друга, найти, что должно быть сделано разложением сил.
Употребляя же наш общий принцип, мы достигнем цели без этих деталей.
LII. Чтобы полностью убедиться в этом важном преимуществе, рассмотрим
какую-нибудь машину, заключенную в ящик EFGH и состоящую из какого угодно
числа деталей; пусть мы даже не знаем ее строения. Пусть эта машина
применяется для преодоления некоторого сопротивления с помощью силы АР,
приложенной в машине. Пусть сила сопротивления равна PQ ; первая сила
равна Р, а последняя равна Q. Пусть, кроме того, расстояние АР = х, BQ =
у. В силу нашего принципа обе силы не будут находиться в равновесии, если
только сумма усилий Рх + Qy не будет наименьшей или не будет Р dx + Q dy
= 0. Но чтобы получить отношение дифференциалов dx и dy, допустим, что
сила АР продвинулась вперед на расстояние Рр и в то же время
сопротивление BQ отступило на расстояние Qq ; установив это, получим dx =
Рр и dy = - Qq ; следовательно, в случае равновесия получим Р- Рр = Q ¦
Qq (рис. 11).
LIII. Вот, следовательно, общий принцип всех машин, непосредственно
вытекающий из универсального принципа покоя. И хотя этот принцип известен
уже с давних пор, следует заметить, что никто еще не дал его строгого
доказательства. Так что можно утверждать, что этот принцип получил свою
достоверность благодаря нашему универсальному принципу. Но, может быть,
мне захотят возразить, что общий принцип равновесия в действительности не
отличается от общего принципа всякой машины, а так как последний известен
с давних пор, то тем самым становится под сомнение новизна первого. И так
как это единственное место, со стороны которого могут напасть на этот
важный принцип Мопертюи, полезно предупредить это возражение.
LIV. Однако я замечу сначала, что смысл принципа Механики, с помощью
которого объясняют состояние равновесия всех машин, совершенно отличается
от общего принципа покоя, ибо первый касается равенства произведений,
получающихся умножением, с одной стороны, движущей силы, а с другой
стороны, сопротивления на пробегаемые ими пространства. Последний вместо
этого требует минимума суммы усилий. Кроме того, принцип машин
распространяется только на две силы, одна из которых заставляет машину
двигаться, а другая есть сила сопротивления, противодействующая движению,
тогда как общий принцип покоя применим к какому угодно числу сил.
Наконец, первый принцип предполагает силы постоянными, в то время как
другой принцип предполагает силы изменяющимися по любому закону.
Следовательно, принцип покоя, как имеющий совсем другой смысл и
бесконечно большую общность, не может никоим образом совпадать с другим
принципом машин, и его новизна не может вызывать сомнения.
LV. Кроме того, просто обязаны признать, что принцип машин сильно
ограничен. Некоторая кажущаяся общность имеет место только в отношении
машин, когда речь идет о равновесии двух сил - движущей силы и силы
сопротивления. И никто еще не догадался вывести из этого принципа
кривизну сгибаемых тел, так же как тел сцепления, не говоря уже об
упругих телах и о форме жидких тел, которые должны рассматриваться как
находящиеся под действием каких-либо сил. Но я уже показал, что все эти
формы весьма удачно находятся с помощью общего принципа покоя Мопертюи.
