Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 46

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 461 >> Следующая

Следовательно, состояние равновесия требует, чтобы
Оа - ОЬ - Ос + Od = О
или же, чтобы сумма интервалов Оа + Od, которые находятся с одной стороны
от точки О на прямой VZ, была равна сумме интервалов ОЬ + Ос, находящихся
на этой прямой с другой стороны.
XLIII. Так как угол со может быть взят произвольно, подставим 90° + со
вместо со, и так как тогда косинусы заменяются синусами, то для состояния
равновесия получим:
A sin со + В sin (со + р) + С sin (со + р + q) + D sin (со + р + q +
г) = 0.
Полагая, как прежде, угол AOV = со, получим для перпендикуляров :
Аа = О A sin со,
Bb = ОВ sin (со + р),
Сс = - ОС sin (со + р + q),
Dd = - OD sin (со + p + q + r)
и, следовательно,
Aa + Bb - Cc - Dd = 0,
так что сумма перпендикуляров Аа + ВЬ, находящихся под линией VZ, всегда
должна быть равна сумме перпендикуляров Сс + Dd, находящихся над этой
линией.
XLIV. Таковы, следовательно, два характерных принципа, с помощью которых
обыкновенно судят о состоянии равновесия какого угодно числа сил,
действующих на заданную точку, и которые выводят обыкновенно из
разложения сил. Но они, так же как разложение, являются непосредственным
следствием нашего общего принципа. Я мог бы тем же способом показать, что
этот принцип дает также известные условия равновесия четырех или
нескольких сил, не лежащих в одной плоскости ; но это потребовало бы
слишком сложных чертежей. Я могу прийти к этому более легким путем: можно
вывести эти условия из обычного разложения, которое уже является
следствием общего принципа ; нет никакого сомнения в том, что все более
сложные случаи также являются такими следствиями.
XLV. Я перехожу к свойствам рычага, чтобы показать, что они также
являются необходимым следствием нашего принципа. Итак, пусть PQ - прямой
рычаг, движущийся вокруг точки О; на его концах Р и Q приложены силы РА и
QB; пусть направления сил сначала перпендикулярны рычагу. Если положим
эти силы РА = А и QB = В, а расстояния РА = х и QB = у, то усилия будут
Ах и By, и их сумма Ах + By должна быть минимумом, для чего необходимо,
чтобы Adx+ В dy = 0. Пусть рычаг перейдет
90
Л. ЭЙЛЕР
Рг~~-Р------
0
А
в бесконечно близкое положение pOq. Тогда получим : dx = Рр и dy = =-Qq,
откуда АРр - B-Qq = 0 или А : B = Qq :Рр. Но Qq : Рр = OQ : ОР;
следовательно, А : В = OQ : ОР или А • ОР = В • OQ, что является главным
свойством рычага (рис. 8).
XLVI. Не предполагая это главное свойство рычага, мы можем получить общую
теорию рычага непосредственно из нашего принципа, какова бы ни была форма
рычага и каковы бы ни были силы, действующие на него. Пусть,
следовательно, дан какой-нибудь кривой рычаг PROSQ, движущийся вокруг
своей опоры О; к нему приложены различно направленные силы РА = A, QB =
В, RC = С, SD - D. Проведем из точки О к точкам приложения сил прямые OP,
OQ, OR, OS и пусть углы
АРО = а; BQO=P; CRO = y\ DSO = д .
Кроме того, на направлениях сил возьмем произвольно фиксированные точки
А, В, С, D и пусть расстояния
В
Рис. 8.
АР = р; BQ = q; CR = r; US = s;
сумма усилий этих сил будет равна Ар + Bq -f Cr -f Ds. Следовательно, для
состояния равновесия получим
A dp + В dq + С dr + D ds = 0.
XLVII. Чтобы найти отношение этих дифференциалов, представим себе, что
рычаг бесконечно мало поворачивается вокруг точки О, так что достигает
положения prOsq, описав бесконечно малый угол dm.
Благодаря этому движению точки Р, Q, R, S опишут вокруг точки О дуги
кругов
DS
Рр = ОР Pr = OR
dm; Qq = OQ dm ; dm ; Ss = OS dm.
Из центров А, В, С опишем также дуги кругов Ра, qb,
Rc, sd.
Так как угол АРО = а, а углы АРа и ОРр - прямые, то угол рРа будет равен
180° - а, следовательно, sin рРа = sin а, и следовательно, ар = dp = = Рр
sin а = OP dm sin а. Тем же способом получим cr = dr = Rr sin у = = OR •
dm ¦ sin у. С другой стороны, так как угол BQO = /3 и OQq = 90°, получим
qQb = В - 90°, Qqb = 180° -В следовательно, Qqb = sin В и
Qb = - dq = Qq sin В = OQ dm sin В ¦
Точно так же получим:
Sd = - ds = Ss sin 8 = OS • dm ¦ sin 6.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ ПОКОЯ И ДВИЖЕНИЯ МОПЕРТЮИ 91
XLVIII. Следовательно, имея
dp - OPdm sin а; dr = OR dm sin у; dq = - OQsin/i; ds - - OS dm sin 8,
после деления на dm найдем для случая равновесия такое уравнение :
А ¦ ОР ¦ sin а + С • OR • sin у = В ¦ OQ sin р + D ¦ OS ¦ sin (5.
Но известно, чтоЛ • ОР • sin а выражает собой момент силы РА относительно
точки О; следовательно, смысл этого уравнения таков, что сумма моментов с
одной стороны от точки опоры О равна сумме моментов с другой ее стороны;
а в этом и состоит все учение о рычаге.
XLIX. Наклонная плоскость в Статике (рис. 10) представляет собой задачу,
требующую особого изложения, которое также выводится непосредственно из
нашего принципа. Пусть имеется наклонная плоскость ЕР на горизонтальном
основании FG; на плоскости находится тело О, поддер- _ живаемое силой,
которая притягивает его по направлению ОВ. Требуется найти условия, при
которых тело О будет находиться в равновесии.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed