Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
в книге J1. Ландау и Е. Лившица "Квантовая механика".
[227] Статья "Quantisierung als Eigenvertproblem" (zweite Mitteilung)
опубликована в ¦Ann. d. Phys.", vierte Folge, т. 79, № 6, 1926, стр. 489-
527 (поступило 23/II 1926 г.).
[228] Как известно, волновой пакет расползается с течением времени. Это
было показано самим Шредингером.
[229] Проблема геометризации основных соотношений динамики, вытекавшая из
глубокого внутреннего родства теории поверхностей и проблемы отыскания
динамических траекторий для различных механических систем, вызвала
многочисленные исследования.
Теория относительности отнюдь не является первой теорией, геометризующей
динамику. Теория относительности в этом смысле была лишь первой теорией,
проводившей геометризацию в пространстве-времени.
Уже в классической механике, придав принципу наименьшего действия
подходящую формулу, геометризовали общую задачу динамики.
Дарбу (см. его лекции по общей теории поверхностей), исходя иэ работ
Якоби, Томсона и Тэта, Лиувилля, Липшица, развил геометризацию проблем
динамики, рассматривая среди всех возможных движений с силовой функцией U
такие, которым отвечает одно и то же значение постоянной закона
сохранения энергии ft или, что то же самое, одна и та же полная энергия.
Вот ход его рассуждений.
Возьмем в качестве основной формы
2 Т dl2 = dik dqi dqk ,
введем импульсы
Pi = Щ 4),
отсюда получим:
2 T = aikPiPk.
Тогда уравнение в частных производных Якоби запишется так:
a'*-|^--|^- = 2(U + ft). dqi dqk
Пусть в - полный интеграл этого уравнения и д1г в2)..., вп-i - частные
интегралы линейного в F уравнения
aikJLl^ = о. dqi dqk
Согласно Липшицу имеем:
2 (U + ft) dik dq- dqk = d0~ -|- / (d0x, ... , dOn-1) •
Отсюда для действительного движения, при котором
dei = dOi = ... = den_x = 0,
имеем:
б|У2(П + ft) dik dqi dqk = 0 .
Таким образом, с помощью этого выражения принципа наименьшего действия
определение траекторий тела сводится к отысканию геодезической линии ds2:
ds2 = 2 (U + ft) dik dqi dqk ¦
[азе] установить единое правило для строгого решения дифференциального
уравнения Гамильтона-Якоби невозможно. Однако во многих случаях можно
найти решение благодаря теореме о том, что S представляет сумму функций,
каждая из которых в отдельности зависит от координаты q (и, кроме того,
от постоянных интегрирования а/):
S = Sx (qх) + ... + Sf (qf).
Тогда уравнение в частных производных
"(*•"¦ -f- <А>
ПРИМЕЧАНИЯ
915
распадается на / обыкновенных дифференциальных уравнений
dS
или, разрешая относительно - , получим
_=р*йк,а*).
В этом случае говорят, что (А) решается разделением переменных.
В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение
механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные
моменты р. ГамильтонПва функция Н (р, q), которая входит в гамильтоновы
уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы
преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-
либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений
изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование,
отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений
неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими
уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование
канонических преобразований. Канонические преобразования представляют
собой специальный случай касательного преобразования. Касательное
преобразование в трехмерном пространстве определяется так :
х' = / (х, у, г, рх\, ру), у' = <р (х, у, г, рх ,Ру), z' = y> (х, у, г,
рх, ру).
В том случае, когда ни х', ни у' не зависят от 2 и только z' зависит от
этой переменной, причем 2' = 2 + /(х, у, ру, ру), мы имеем каноническое
преобразование.
Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование
гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Уравнения сохранили их
форму, но гамильтонова функция Н (q, р) превратилась в функцию Н (q, р)
новых переменных q и р. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы
уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и
задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь
никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби
показал, что если можно построить такое каноническое преобразование,
которое преобразует гамильтонову функцию H(q,p) в Н(р), содержащую только
переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно
проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена. Таким
образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений
Гамильтона отысканием соответствующего канонического преобразования. Этот
метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером
преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток
прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение совершенно
другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи
