Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 445

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 439 440 441 442 443 444 < 445 > 446 447 448 449 450 451 .. 461 >> Следующая

то, что евклидова геометрия задается полной ортогональной группой
преобразований, сохраняющих расстояние: xf + +... + х?ь и включающей
наряду с непрерывными преобразо-
ваниями (вращения) преобразования отражения, переводящие х" х2,..., х,-
,..х" в - х" - х2,...,- Xi,..., - х". Иными словами, понятие
тождественности зависит от выбора той или иной группы преобразований. В
математике такой выбор совершенно произволен, в физике же диктуется самой
природой наблюдаемого явления, что лишает смысла идеалистический взгляд
Канта на пространство.
На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным
понятием, можно указать, что понятие группы является результатом
абстрагирования от различных подвижных инструментов: циркуль, линейка и
т. д., являющихся орудием геометрического исследования*). Напомним, что
уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические
построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл
этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна.
Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах
инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов
пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно
не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на
реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре.
Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность
программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где
различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии
относительно различных групп. Основными группами современной физики
являются: группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа
непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей
теории относительности, коэффициенты метрической формы которого
определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы
переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим
преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа
I и S, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно
интерпретировать как константы движения: угловой момент и внутренний
момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим
инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона
от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими
свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается
общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой
физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова
формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между
инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или
Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона
сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом
L(x, х, t). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи-
нитезимальных операторов Хк = х< -=---- X] -- (i,j, к = 1, 2,3),
удовлетворяющих ком-
OXj ОХ(
мутационным соотношениям [х3х,] = х2; [х1х2]=х3; [х2х3] = х,. Тогда из
условия инвариантности L' = L получаем х,- - Xj = 0. Отсюда с помощью
уравнений
OXj OXi
Лагранжа выводятся уравнения сохранения углового момента Мк = PtXj - xpj
= const, где индексы i, /, к образуют циклическую подстановку I, /, к =
1, 2, 3. В современной физике теорема Нетер играет особо важную роль при
математической интерпретации различных вариантов классификации
элементарных частиц. Наиболее успешной из этих схем является
классификация Гельмана**), в которой вводится наряду со спином,
изотопическим спином***) и орбитальным моментом новое квантовое число
"странность", по которому проводится классификация элементарных частиц.
Правила отбора по "странности" хорошо согласуются с экспериментальными
данными по временам жизни элементарных частиц. В работе D'Espagna и J.
Prentki****) было показано, что "странность" можно полу-
*) Напомним, что любое геометрическое построение с помощью циркуля и
линейки может быть интерпретировано как некоторая алгебраическая операция
или комбинация алгебраических операций.
**)См. сборник переводов "Новейшие проблемы современной физики" за 1956
г., Элементарные частицы.
***) Изотопи еским спином называется оператор, устанавливающий связь
между различными элементарными частицами в гипотетическом пространстве
изотопического спина. Так, например, протон и нейтрон можно рассматривать
как два состояния некоторой частицы "нуклона" с значениями изотопического
спина 72 и -'/г- Изотопический спин, являющийся обобщением понятия "заряд
частицы", можно рассматривать как инвариант представления группы вращений
в трехмерном "пространстве" изотопического спина.
****) D'Espagna and J. Prentki, Nuclear Phys., 1, 33 (1955).
ПРИМЕЧАНИЯ
913
чить, потребовав инвариантности лагранжиана взаимодействия различных
Предыдущая << 1 .. 439 440 441 442 443 444 < 445 > 446 447 448 449 450 451 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed