Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Naturwissenschaften", № 167.
[43] Свой метод неопределенных множителей Лагранж впервые изложил в
"Мёса-nique analytique", 1788, стр. 45 и далее, стр. 227 и далее. Строгое
обоснование этого метода дали А. Майер и Турксма.
["] Вместо употребляемого Родригесом d мы обозначаем здесь частную
производную через д; это обозначение введено Лежандром и Якоби.
[46] Здесь мы пишем точнее д(Т dt) вместо ST dt у Родригеса.
[4в] Это не совсем точно. Мы должны добавить еще
д|М (Г + V - Н) = Р dt (ёт + SV) + JA ddt (Г + V - Н).
56*
884
ПРИМЕЧАНИЯ
Только тогда, когда время остается неизменным, то есть dt = О, уравнение
для минимума будет иметь вид
j {dr dt + X dt (дТ + dp)} = 0,
но это, разумеется, лишь приближенное уравнение, поскольку мы должны
допускать и вариацию времени. Точное уравнение см. в прим. 49.
[47] Относительно вариации времени у Родригеса А. Майер в сочинении "Die
beiden allgemeinen Satze der Variationsrechnung, welche den beiden Formen
des Prinzips der klein-sten Aktion in der Dynamik entsprechen", Leipzig,
Math.-Physik. Berichte, 1887, на стр. 343-344 пишет: "С точки зрения
динамики, в которой всегда допускается вариация положения рассматриваемой
системы точек в данный момент, это настолько непривычно, что я раньше
вовсе не представлял себе такой возможности. Но как только мы,
отказавшись от чисто динамического толкования, допускаем вариацию не
только координат точек, но также и времени, тотчас же становится понятным
тот пункт в выводе Лагранжа, который всегда представлял наибольшие
трудности. А именно, становится ясным, почему уравнение живой силы, если
его записать как условное уравнение, может, однако, оставить совершенно
неограниченными вариации координат ; и тогда мы видим, что утверждение
Якоби, согласно которому в принципе наименьшего действия необходимо из
интеграла действия исключить время посредством закона живой силы, не
вполне верно и что наряду с той формой принципа наименьшего действия,
которую придал ¦ему Якоби, существует еще вторая, не менее правомерная
форма; именно эта вторая форма, а не принцип Гамильтона, есть то, что
Лагранж лишь неточно сформулировал и правильно, хотя и без обычно
свойственной ему ясности, доказал".
Без ссылки на Родригеса и, по-видимому, независимо от него опубликовал
аналогичные исследования о принципе наименьшего действия Раус (Е. J. Rout
h, An Elementary Treatise on the Dynamics of a system of Rigid Bodies,
Лондон, 1877, стр. 305-312, 560-562); это в основном совпадает с текстом
Е. J. R о u t h, The advanced part (part II) of a Treatise on the
Dynamics of a System of Rigid Bodies, 6-е изд., Лондон, 1905, стр. 301-
309. Раус (цит. соч., стр. 301, 306) исходит из основного уравнения, в
котором он варьирует также и t:
О
г]фШ=[фй + 2^- (Sq, - q, dt) ж)(dqv - dt) dt '
to
где Ф есть функция qv, qv и t. Отсюда следует (там же, стр. 303, 305-
306): 1) если Ф = = Т -f U, dt = 0 и на пределах интегрирования dqv = 0,
то легко можно заключить, что, г.
когда d J (Г -f U) dt = 0, то имеют силу уравнения движения, открытые
Лагранжем, и г"
наоборот; 2) когда U и условные уравнения явно независимы от времени, а Ф
= 2Т и на пределах интегрирования dqv = 0, a ?t не равно нулю, так что мы
можем еще установить уравнение условия для варьирования, тогда мы
избираем условие, что энергия Г - U ко времени < в действительном
движении равна энергии в варьированном движении к соответствующему
времени t + dt, иными словами, мы определяем dt из уравнения
! (Г - U) = 0,
и тогда видим, что принцип наименьшего действия равнозначен с системой
уравнений Лагранжа.
Раус, как и Родригес, пользуется способом неопределенного множителя
Лагранжа, причем он полагает
W = Т + <Т - U - h)X ,
d$Wdt = о, (а)
где dh = 0, и вначале не принимает во внимание условие 6Т = d'U, а затем
определяет X так, что это условие соблюдается |он находит, что X = - j .
Если бы нам нужно было принять, что dt = 0 в уравнении (а), то мы имели
бы уравнение, которое, по-видимому,
было бы эквивалентно уравнению Лагранжа лишь при X = -L. Тогда уравнение
(а)
превратилось бы в принцип Гамильтона
t,
¦~j(tT+dU)dt=*0,
и
ПРИМЕЧАНИЯ
885
и отсюда, очевидно, возникает мнение, изложенное нами в начале
примечания. Ср. также Раус, цит. соч., стр. 306, № 454.
Здесь полезно будет заметить, что когда говорят, что энергия при
действительном
движении постоянна, то имеют в виду, что = 0, но не обязательно Sh = 0; у
Гамильтона в "принципе переменного действия" мы рассматриваем "действие"
tt
V = j 2 Tdt
U
как некоторое множество естественных движений системы при небольших
изменениях (Sh) ее начальной энергии и соответственно небольших
изменениях конечных положений. Здесь Sh не равно нулю, и
SV = [ тг хг Sxr + t Sh]h ¦
to
В принципе же наименьшего действия, наоборот, рассматривается множество
движений (если вообще существуют возможные движения) системы между
данными начальными и конечными положениями, и здесь каждое движение,
