Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
5 la solution des diff6rents problemes de dynamique" напечатана впервые
во 2-м томе: "Miscellanea Tau-rinensia" за 1760-1761 гг. (перепечатана в
книге : Lagrange, Oeuvres, т. 1, Paris, 1867, стр. 365-468). Печатается с
некоторыми сокращениями.
Статья, на которую ссылается Лагранж и продолжением которой является
публикуемая частично работа, была напечатена во 2-м томе "Miscellanea
Taurinensia" за 1760- 1761 гг. (перепечатана в книге : Lagrange, Oeuvres,
т. 1, Paris, 1867, стр. 335-362) под названием "Essai d'une nouvelle
methode pour determiner les maxima et les minima des formules integrales
ind6finies".
В этой работе Лагранж излагает свой метод, который требует применения
только дифференциального и интегрального исчисления. Для того чтобы
отличить операцию варьирования от дифференцирования, Лагранж впервые
вводит обозначение 8. Поэтому 8Z выражает у него "дифференциал" Z, не
совпадающий с dz, хотя если имеет место (IZ = = т dx, то равным образом
8Z = т дх. Прежде всего Лагранж решает следующую задачу: имеем j Z, где Z
- некоторая определенная функция переменных Xj и их производных; надо
найти такое отношение между этими переменными, при котором (' Z будет
максимумом или минимумом.
Имеем:
8$Z = §dZ = 0.
Пусть
8 Z = п dxi + р 8 dxi + q 8 d2xi + г 8 d3xt + ... ,
следовательно,
j' п dxt + | p d dx/ + J q 8 d2x, + \ r 8 dsXi + ... = 0 .
Замечая, что 8 dx - ddx и т. д., и интегрируя по частям
J р ddx = рдх - J dp дх,
J qd28x = q ddx - dq дх + \ d2qdx,
получим:
j' (n - dp + d2q - (Pr +...) dxi + (p - dq + d2 r - ...) dxi +
+ (q - dr + . ..) d dxt + (r - ¦ ¦ ¦) d2 dxt + ... = 0 -
ПРИМЕЧАНИЯ
883
Отсюда получаем искомое условие
п - dp + d2q - dzr + ... = 0 .
["] S dm обозначает сумму всех элементов массы нити; несмотря на то что,
dm - бесконечно малая величина, результат суммирования всех dm конечен и
равен массе
всей нити. Операции S и d таковы, что S dbx = дх • кроме того,-^- dx = 0.
Знак d в отличие от d применяется Лагранжем для обозначения бесконечно
малого элемента,' например длины ds, следовательно, ds обозначает
производную по времени от такого элемента.
["] В п. 9. "Essai d'une nouvelle m6thode pour d6terminer les maxima et
lee minima des formules int6gralesind6finies" рассматривается задача :
найти минимум или максимум выражения \ Z, предполагая, что Z есть
произвольная алгебраическая функция, образованная переменными х, у, z и
их дифференциалами dx, dy, dz, dsx, d2y,... и величины П =\Z', где Z' -
другая алгебраическая функция тех же переменных.
р1] Статью "Recherches sur la nature et la propagation du son" cm.
"Oeuvres de Lagrange", т. 1, Paris, 1867, стр. 39-151.
[32] Есть русский перевод под названием "Теория фигуры Земли". Серия
"Классики науки", Изд. АН СССР, 1947.
[33] В п. XLIX дано уравнение неразрывности.
р4] Первое издание "M6canique Analytique par М. de la Grange, de
l'Acad6mie des Sciences de Paris, de Cellesde Berlin, de R6tersbourg, de
Turin, etc." вышло в Париже в 1788 г. (См. также "Oeuvres de Lagrange",
т. 11, 12, Paris, 1888.)
Печатаемые отрывки взяты из книги : Ж. Лагранж, Аналитическая механика,
т. 1, перев. В. С. Гохмана под ред. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье, изд.
2-е, Гостехиздат, М.-Л, 1950. Динамика. Отдел третий, § VI, стр. 379-390.
Перевод выполнен с последнего французского издания "Oeuvres de Lagrange".
[35] то есть уравнение
+я)-р'
где F есть постоянная, равная значению левой части этого уравнения для
данного времени. П здесь обозначает отрицательную силовую функцию (термин
этот впервые появился в 1834 г. у У. Р. Гамильтона), так что это
уравнение есть известный интеграл живой силы и выражает принцип живой
силы.
[36] То есть принцип Д'Аламбера
S"{JWSx + S'd У + -?": + 35г)-0.
[37] Слова "постоянный элемент" (l'616ment constant) введены Лагранжем во
втором издании.
[м] Этоупримечание Бертрана появилось, естественно, лишь в третьем
издании "Аналитической механики" ("Oeuvres de Lagrange", т. XI, стр.
318).
[39] Это примечание Дарбу впервые появилось в четвертом издании ("Oeuvres
de Lagrange", т. XI, стр. 318).
[40] В первом издании это место звучало так : "Величина Sm j- adds, если
переставить знаки S и j-, что всегда допустимо" ..., но во втором издании
Лагранж добавил : "и предположить dt постоянным" (en supposant dt
constant).
[41] Следующий далее № 42 ("Oeuvres", т. XI, стр. 323-324) отсутствует в
первом издании и имеется лишь во втором и последующих изданиях.
[42] Статья Родригеса "De la maniere d'employer le principe de la moindre
action, pour obtenir les 6quations du mouvement rapportdes aux variables
inddpendentes" напечатана в "Correspondances sur l'Ecole Polytechnique",
т. 3, № 2, Mai 1816, стр. 159-162. Ввиду невозможности достать
французский подлинник статьи перевод сделан с немецкого перевода этой
статьи, помещенного в сборнике "Abhandlungen fiber die Prinzipien der
Mecha-nik", изданном в серии "Ostwald's Klassiker der exacten
