Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
новой ступени ее развития.
Вариационные принципы механики связаны с таким большим количеством
различных проблем, применения их так разнообразны, число посвященных им
работ настолько велико, что в нашем обзоре оказалось возможным бегло
коснуться лишь некоторых из этих вопросов. Изучение и анализ их с точки
зрения математической, механической, физической, философской, безусловно,
является одной из интереснейших тем для научного исследования.
ПРИМЕЧАНИЯ*)
[*] Работа П. Ферма "Synthesis ad refractiones" помещена в "Oeuvres P.
Fermat", т. 1, Paris, 1891, стр. 173-179.
Этот второй отрывок о законе рефракции вместе с предыдущим ("Analysis ad
refractiones"), посланным Ферма де ла Шамбру с письмом от 1/1 1662 г.,
явно является в "Корреспонденции Декарта" самостоятельным; это именно то
сочинение, которое Ферма обещает прислать де ла Шамбру в конце письма от
1/1 1662 г., если тот этого пожелает, и иа это сочинение особенно
ссылается Клерселье (Clerselier) в своем письме к Ферма от 20 мая 1662 г.
Судя по копии Клерселье, оно могло быть отослано де ла Шамбру в феврале
1662 г.
[2] В доказательстве Ферма, по существу говоря, фигурирует утверждение,
что вариация времени по действительной траектории и по соседнему
возможному пути равна нулю. Это условие необходимо, но не достаточно для
того, чтобы время было минимумом.
В простом случае, рассмотренном Ферма, условие минимальности и
вариационное условие совпадают, но в более сложных случаях это не имеет
места.
Первое настоящее оправдание принципа Ферма дал Гюйгенс в "Трактате о
свете", где на основе своей "волновой" теории вывел, что коэффициент
преломления на границе двух сред равен отношению скоростей света в этих
средах.
Математическое выражение принципа Ферма имеет вид
Q
р
т. е. вариация интеграла равна нулю, что означает: разность между этим
интегралом, взятым вдоль действительного пути и интегралом взятым вдоль
соседней траектории, есть бесконечно малая величина второго порядка по
сравнению с расстоянием между путями.
Существенное значение имеет вопрос : какая скорость входит в интеграл
Ферма - фазовая или групповая, что имеет значение в дисперсионной среде.
Волновая оптика-показывает, что это - волновая скорость. Отсюда возникает
новое возможное видоиз менеиие идеи Ферма : время, требуемое для группы
волн, чтобы пройти между двумя точками, было бы минимумом, a v было бы
тогда групповой скоростью.
[3] "Discorsi е Dimostrazioni matematiche intorno a due nove scienze
attenenti alia Mecanica ed i movimenti locali, del Sigr Galileo Galilei",
Leyde, 1638.
[4] Ферма в соответствии со своим чисто геометрическим методом изложения
называет произведение вида 2 АВ-ВС, где АВ+ ВС, "двойным прямоугольником
АВ на ВС". В дальнейшем для ясности изложения мы везде заменим этот
термин на привычное "удвоенное произведение АВ на ВС".
[6] Заметка "Problema novum, ad cujus solutionem Mathematici invitantur"
была напечатана в лейпцигском журнале "Acta Eruditorum" за 1696 г. в
июньской книге, стр. 264 и в "Opera Omnia", 1742, т. 1, стр. 161. Русский
перевод, выполненный В. С. Гохманом, помещен в книге : И. Бернулли,
Избранные сочинения по механике, ОНТИ, М.-JI., 1937.
[6] Статья "Curvatura Radii in diaphanus non uniformibus, solutioque
problematis a se in "Acta", 1696, стр. 269 propositi de invenienda "Linea
Brachistochrona" etc." была на-
*) Примечания составлены Л. С. Полаком. Прн составлении примечаний
частично использованы отдельные замечания и примечания Журдена, Конвея и
Мак-Коннеля. Примечания 208, 209, 213 и 232-237 составлены Г. А.
Соколиком. Ссылки на примечания редактора Сборника в тексте статей
сборника обзначены так : [137]. Примечания авторов статей обозначены
так*). В немногих случаях, когда примечания редактора помещены
непосредственно под текстом статей, они заключены в квадратные скобки и
отмечены подписью: Прим. ред. Нумерация рисунков в каждой статье
самостоятельная независимо от того, какова была нумерация их в
подлинниках статей и книг.
ПРИМЕЧАНИЯ
881
печатана в "Acta Eruditorum", 1697, Mai, стр. 206 и в "Opera omnia",
1742, т. 1, стр. 187. Русский перевод, выполненный В. С. Гохманом,
помещен в книге : И. Бернулли, Избранные сочинения по механике, ОНТИ, М.-
JI., 1937.
[7] Открытие Гюйгенса помещено в его сочинении о маятнике: "Horologium
oscil-latorium", Paris, 1673.
[8] Когда круг радиуса г катится по горизонтальной прямой, то каждая
точка его периферии описывает циклоиду
. х - г (<р - sin <р), у = г (1 - cos ф).
Если обратить циклоиду так, чтобы ее концы были направлены вверх, то
получим таутохрону - кривую, двигаясь из любой точки которой тяжелая
точка затрачивает одно и то же время для того, чтобы достигнуть на ней
самого нижнего положения.
[9] Статья Мопертюи "ьа loi du repos" прочитана во Французской Академии
20 февраля 1740 г., перепечатана в "Oeuvres de М. de Maupertuis", т. 4,
Lyon, 1756, стр. 45-63. (Характеристику работ Мопертюи см. "Послесловие",
