Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
учесть тесную внутреннюю связь принципа Гамильтона и оптики - связь,
выраженную в оптико-механической аналогии, являющуюся одним из проявлений
фундаментального синтеза полевого и корпускулярного аспектов физических
процессов. Принцип Гамильтона дает общие формы
2(pi8qt-Pi*Q,) = *s,
где
S - S (qn, Qn).
то
878
Л. С. ПОЛАК
связи величин, которые, именно в силу своей общности, могут быть
применены для характеристики самых разнообразных физических процессов. Но
эта общая и абстрактная форма пуста без включения в нее конкретных
соотношений, взятых из опыта. Именно это определило роль принципа
Гамильтона в истории физики.
Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом
формализме основными величинами являются qh pt и Н. Гамильтониан можно
построить с помощью функции Лагранжа и qt и р,. Отсюда непосредственно
получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в
гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с
пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной
независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести
далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны,
именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив,
в лагранжевом формализме не вводят функции qh ph Н (хотя это и возможно).
В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана
системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а
динамические переменные (энергия - импульс, заряд и т. п.) определяются
как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы
координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом
формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с
самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой
системы точек оказывается гораздо менее отчетливой.
Основное различие лагранжева и гамильтонова методов в том, что в первом
поведение системы описывается при помощи связанных между собою величин
<7, и qt - и поэтому варьирование dqp надо[при выводе уравнений Лагранжа
выполнять через независимые вариации dqt; это осуществляется
интегрированием по частям, в результате которого появляются
d (дL\ "
члены вида (дрj, приводящие к уравнениям второго порядка. В то же
время в обычном формализме Гамильтона ql и pt независимы и являются
равноправными переменными, т. е. р, связаны с qt только уравнениями
движения, а не какими-либо заранее заданными соотношениями. Разделение
переменных на две независимые группы, связанные между собой почти
симметричным образом посредством уравнений Гамильтона, - характерная
черта гамильтонова метода. Наименование же переменных qt и р, обобщенными
координатами и импульсами имеет только исторический смысл. Эта
равноправность "координат" и "импульсов" дает большие возможности для
выбора величин, определяющих изменение состояний физической системы.
В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций
переменных qh в гамильтоновом же формализме механические движения и
движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2rt
переменных <7,- и /?,. В то время как пространство конфигураций имеет
геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной
геометрической структуры и только для удобства вычислений можно
предположить, что qt и pj образуют прямоугольные координаты 2л-мерного
евклидова пространства.
Удвоение числа измерений является только кажущимся усложнением, а на
самом деле введение фазового пространства имеет большие преимущества
перед рассмотрением задач в пространстве конфигураций.
В самом деле, во многих задачах недостаточно рассматривать только одну
траекторию, отвечающую определенным начальным условиям и пред-
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
879
ставляющую собою частное решение уравнений движения, а необходимо
рассмотреть всю совокупность траекторий, которая соответствует любым
начальным условиям и представляет полное решение этих уравнений. Это и
имеет место при рассмотрении фазового пространства гамильтоновых
уравнений, так как полное решение канонических уравнений найдено, если
<?, и р( определены как функции времени t и 2п произвольных постоянных
(Чдо и (Рдо. то есть значений qt и р, при t = 0.
Однако резкой грани между лагранжевым и гамильтоновым методами нет.
Каждый из них имеет свои преимущества, и они тесно связаны друг с другом.
Как мы уже отмечали, исходя из лагранжиана и вводя импульсы, можно, если
импульсы-независимые функции скоростей, получить гамильтониан.
* *
*
Подводя итоги, можно сказать, что вариационные принципы механики не
только выражают в простой инвариантной форме уравнения движения и
уравнения полей, но и заключают в себе синтез дискретного и
континуального аспектов движения и являются выражением обобщенного
принципа причинности в физике.
Прошлое науки по-иному раскрывается перед нами на каждой принципиально
