Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
кратчайшее время.
В отличие от минимума принципа Гамильтона условие минимума, входящее в
формулировку принципа наименьшего принуждения, осуществляется без каких-
либо ограничений, так как здесь речь идет о минимуме положительной
квадратичной формы, что не требует дальнейшего исследования.
9. Определение траектории с помощью принципа наименьшего действия в
форме Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума
интеграла [ У(Т) (U + h) ds2, т.е. к определению геодезической линии.
"1
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
869
Время при этом исключается из рассмотрения. Этот интеграл представляет
собой действие в смысле механики лишь при дополнительном условии введения
гипотезы, что энергия Т + 17 = const при движении системы.
Задачи динамики могут быть формулированы языком высшей геометрии, если
связать каждую динамическую проблему с соответствующей формой метрической
геометрии. В общем случае - это нериманова геометрия, причем
конфигурационное пространство включает время в качестве координаты,
равноправной с другими переменными. Тогда траектории механического
движения тел будут представлены кратчайшими или геодезическими линиями
такого метрического многообразия, в то время как волновые поверхности
(или поверхности действия) становятся параллельными поверхностями.
Геодезические же линии могут быть построены как ортогональные траектории
к этим поверхностям. Тогда динамические процессы движения корпускулярных
систем совпадают с задачей распространения света в оптически неоднородной
среде.
В противоположность принципу Д'Аламбера, согласно которому движение
определяется начальным положением точки и ее начальной скоростью, принцип
наименьшего действия определяет движение по начальному и конечному
положениям точки. При всех сравниваемых бесконечно близких движениях
только начальные и конечные положения остаются без изменения, тогда как
скорости, даже начальные скорости, могут быть произвольно варьируемы в
пределах, допустимых заданными связями.
По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первыми, ни
единственными в отношении выделения осуществляющихся в природе движений
из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из
всех возможных движений - точнее говоря, из всех мыслимых движений -
естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона, среди
которых первая аксиома является частным случаем обобщенного принципа
прямейшего пути Герца. Различие в характере выделения группы естественных
движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью
вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием
является только соответствие аксиомам механики, а во втором это
соответствие выражено через экстремальное условие, для применения
которого небходимо сравнение возможных движений между собой. Нечто
аналогичное уже имело место и в принципе возможных перемещений.
Когда мы выражаем принципы механики в интегральной форме, то, если
интеграл берется по времени, поведение системы как бы рассматривается в
будущий и прошедший моменты времени в отличие от принципов, выраженных в
дифференциальной форме. Однако это кажущееся "предвидение будущего" и
определение из будущего настоящего является действительно кажущимся,' так
как вариационные принципы легко могут быть преобразованы к такому виду,
при котором время исключено (выражение принципа наименьшего действия,
данное Якоби) или не входит совершенно (принцип Г ерца).
10. Однако различные формы механики имеют различное значение как в
отношении решения механических, так и, в особенности, в отношении
немеханических проблем. Та форма, которую придал механике Лагранж,
основав ее на законах, выраженных в дифференциальной форме, оказалась
чрезвычайно продуктивной для решения проблем технической механики.
Другая форма механики, основанная на интегральных принципах, которую
придали механике Гамильтон и Якоби, стала основным методом
R70
Л. С. ПОЛАК
для исследования ряда проблем астрономии и физики как макрокосмоса, так и
микрокосмоса.
В чем же причина этого различия, которое тем более интересно, что в сфере
механики налицо полная эквивалентность дифференциальных и интегральных
принципов.
Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают
одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует
введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения
таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический
вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы
так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы
координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть
инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат.
Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных
свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и
недостаточным условием истинности формулированных нами физических
