Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу
Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит
физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных.
Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом
потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным,
хотя и не обязательно. Это - важный эвристический метод физики. Например,
в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из
возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с
минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму
началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен
следующий факт : если задано исходное состояние физической системы и ее
энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором
будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по
сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в
основе исследования задач устойчивого равно-
866
Л. С. ПОЛАК
весия. Законы же процессов движения проще всего формулируются с помощью
принципа Гамильтона*).
6. Заметим, что близость принципа Гамильтона и принципа наименьшего
действия не исключает различия между ними.
Поясним на очень простом примере различие между принципом Гамильтона и
принципом наименьшего действия.
Пусть имеется система материальных точек, которая свободно или по
принуждению движется по какой-либо неизменной поверхности и на которую
явно не действуют никакие силы. Тогда U постоянно и для варьированного
движения имеет то же постоянное значение. Так как Т + U должно быть
постоянно и неизменно для варьированного и неварьированного движений, то
Т, а также и v должны для обоих движений быть одинаковыми и постоянными.
Следовательно,
J mv2dt = mv J ds
должен иметь экстремум. Так как m и v - константы, то должно быть
d$ds = О,
так что длина j ds пути от неизменного начального положения к неизменному
конечному положению должна быть для действительного движения
экстремальной без того, чтобы время, требуемое для варьированного и
неварьированного движений, было одним, и тем же.
Если же применить к этому случаю принцип Гамильтона, то окажется, что для
варьированного движения скорость от точки к точке несколько различна,
однако изменяется так, чтобы полное время перехода от фиксированного
начального положения к фиксированному конечному положению не изменялось
(т. е. не варьировалось). Следовательно, в этом случае должно быть
согласно принципу Гамильтона (так как V,tt - (0ит - константы)
dl'v4t = 0.
и
Этот пример ясно показывает, в чем именно состоит различие между двумя
принципами : Гамильтона и наименьшего действия.
7. Надо далее указать на тесную связь принципа Гамильтона с принципом
инерции, лежащим в основе классической механики Галилея-Ньютона.
Если мы обратим внимание на первую аксиому механики Ньютона (v = const
для изолированного от внешних воздействий тела), то легко убедиться в ее
не только внешней, но и внутренней связи с принципом наименьшего
действия. Во-первых, для случая отсутствия внешних сил требование
экстремума для интеграла § vds дает прямую линию или бесконечность.
Последнее мы отбрасываем, так как бесконечных траекторий между двумя
точками может быть бесконечно много. Таким образом, мы получаем первую
аксиому Ньютона из принципа наименьшего действия (однако в самом принципе
заключено значительно большее содержание, чем в первой аксиоме Ньютона).
Во-вторых, с точки зрения антропоморфно
*) Это сродство равновесного состояния и состояния движения в известной
мере выражает их глубокую внутреннюю связь. Пуансо замечает:
"...состояние равновесия тел является простым моментом движения, в
котором исчезают как мера сил их действиями, так и сами эти действия" (L.
Р о i n s о t, El?ments de statique). Цит. по русск. перев. под ред. А.
Долгова : Пуансо, Начала статики, 1920, стр. 5. Общеизвестна позиция
диалектического материализма в этом вопросе.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
867
рассуждающего наблюдателя, сохранение состояния сопряжено с наименьшей
затратой "действия". Существенно здесь отметить, что первая аксиома
Ньютона вместе со второй представляет собой формулировку принципа
причинности на языке механики, состоящую в том, что каждое изменение
должно иметь обусловившую его причину. Рассмотрение этой причины как
внешней относительно тела, изменяющего свое состояние, есть одна из
характерных черт механистического миропонимания. Таким образом, в самой
основе механики Ньютона заложен четко сформулированный на языке механики
принцип причинности. В то же время эта аксиома Ньютона получается из
принципа наименьшего действия, которому усиленно пытались придать
телеологическое истолкование.
Однако, как было уже отмЛено, экстремальный характер вариационного
принципа лишает телеологическое истолкование какого-либо смысла. Особенно
отчетливо это видно при рассмотрении формы, которую Якоби придал принципу
