Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Все рассмотренные формулировки квантовой теории полей, каждая из которых
имеет классический аналог, не дают внутренне непротиворечивого решения
проблем теории (расходимости!). Все они основаны на явной предпосылке
применимости принципа Гамильтона к данной области физических явлений, а
этот принцип и связанные с ним гамильтонов и лагранжев формализм до
настоящего времени являются наиболее универсальным выражением принципа
причинности в физике.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
863
III. К ВОПРОСУ О СМЫСЛЕ И ЗНАЧЕНИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
В" МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
1. В основе применения и физического смысла вариационных принципов
механики лежат две теоремы : теорема независимости Гильберта и теорема
Эмми Нетер. Первая теорема дает математическое обоснование вариационных
принципов, вторая - раскрывает их физический смысл, связывая их с
центральной физической проблемой - проблемой инвариантов различных групп
преобразований.
Из теоремы независимости Гильберта*) не только непосредственно следуют
хорошо известные условия минимума функционала, но также и все
существенные положения теории Гамильтона-Якоби.
Еще более велико значение теоремы Нетер.
В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических
форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал
принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии)
задается системой инвариантов относительно некоторой группы
преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил
связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами
непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в
терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении
вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г.
дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической
теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма.
Теорема Нетер гласит, что всякому непрерывному преобразованию координат,
обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон
преобразования функций поля, соответствует определенный инвариант, т. е.
сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных**). Так,
инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета в
пространстве (однородности пространства) соответствует закон сохранения
количества движения; инвариантности лагранжевой функции относительно
смещения начала отсчета времени (однородности времени) соответствует
закон сохранения энергии ; инвариантности относительно пространственных
поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения
момента количества движения. Инвариантность относительно преобразований
Лоренца***), т. е. вращений в плоскостях (х,/), (у, /), (z,t), приводит к
обобщенному закону сохранения движения центра тяжести. Таким образом, в
четырехмерном пространстве времени имеем всего десять фундаментальных
законов сохранения.
Собственно говоря, физический смысл принципа Гамильтона глубже и полнее
всего выражается теоремой Нетер.
2. Появление электромагнитного поля в физике не только как модельного
образа Фарадея, но и как системы, законы которой могут быть выражены с
помощью уравнений типа уравнений Лагранжа и некоторыми
*) D. Hilbert, Mathematische probleme, Gesamm. Abhandl., т. 3, Берлин,
1935, стр. 290-329 ; Zur Variationsrechnung, Math. Annalen, т. 62, 1906,
стр. 351-370, см. также Gesamm. Abhandl., т. 3, стр. 38-57. Изложение
теории Гильберта см. также в книге автора "Вариационные принципы
механики" (в печ.).
**) Очень наглядный и красивый вывод теоремы Нетер дан в книге : Н. Н. Б
о г о-любов и Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей,
Гостехиздат, 1957, стр. 20-23.
***) В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к
ее представлениям, которые определяют преобразования волновых функций.
864
Л. С. ПОЛАК
обобщенными формулировками опытных данных, привело к фундаментальным
изменениям в классической физике. Оказалось, во-первых, что нельзя этот
новый элемент физической картины мира свести к единому кинетическому
механизму, который охватывал бы тепловые, электромагнитные и другие
явления, хотя в ряде частных случаев это и удавалось сделать. Во-вторых,
оказалось, что хотя и можно выразить законы электромагнитного поля в
форме принципа Гамильтона, но это выражение нуждается в существенно новом
и чуждом механике определении лагранжиана. Определение его вводится уже
не на основании единой модели явлений, а по аналогии, которую можно
установить между элементами, фигурирующими в описании электромагнитных
явлений и в классической механике.
На место единой физической картины мира была поставлена объединенная
картина, б которой отдельные части связывались вариационным принципом, но
в каждой из этих частей требовалось как для их описания и объяснения, так
и для применения вариационного принципа введение хотя и механически
