Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
должны быть приложены квантовые условия. Это очевидно только для
специального случая кеплерова эллипса.
Первый шаг к решению этой проблемы был сделан Эпштейном****) в 1916 г. в
работе об эффекте Штарка. Эпштейн заимствовал из астрономии метод, много
раз прилагавшийся для решения уравнения Гамильтона- Якоби и известный под
названием "разделения переменных". Этот метод ведет прямо к определению
энергетического уровня без промежуточных вычислений орбит. Другой подход
к проблеме был независимо от Эпштейна в том же году разработан
Шварцшильдом*****) на основании теории условно-
*) A. S о m m е г f е 1 d, Sitzungsber. d. Bay. Akad., 1915, 425 ; Ann.
d. Phys., т. 51, 1916, стр. 1.
**)W. Wilson, Phil. Mag., т. 29, 1915, стр. 795.
***) M. Planck, Die physikalische Structur der Phasenraums, Ann. d.
Phys., т. 50, 1916, стр. 385.
****) P. S. Epstein, Ann. d. Phys., т. 51, 1916, стр. 168.
*****) К- Schwarzshild, Sitzungsber. d. Preuss. Akad., 1916, стр. 548.
86Э
Л. С. ПОЛАК
периодического движения Штауда-Штеккеля. Введя для этих движений
некоторые переменные действия Jr и угловые переменные 9оп Шварцшильд
получил в этих координатах канонические уравнения и условие квантования
Эпштейн показал полную эквивалентность обоих методов. Во всех этих
методах использован математический прием, состоящий в применении
преобразования Лежандра. В старой "классической" квантовой механике
стремились ввести такие координаты, которые делают функцию Гамильтона
зависимой только от канонически сопряженных импульсов, так как в этом
случае механическая задача легко разрешима.
П. Эренфест*) в 1916 г. теоретически обосновал квантовые условия
Зоммерфельда и др. с помощью адиабатической гипотезы. Он использовал
представление об адиабатических инвариантах систем, а Баджере позднее
показал, что фазовые интегралы действия есть адиабатические инварианты,
которые по идее Эренфеста являются квантующимися переменными.
В классической теории всегда рассматривается интеграл J 2 Pidqt, а в
квантовой теории [ Pidqu так как в квантовой теории функция действия
расщепляется на частичные SJqJ, в то время как в теории Гамильтона- Якоби
разделение переменных есть лишь способ решения уравнения.
Основной дефект теории Бора-Зоммерфельда состоял в том, что она
определяла все множество классических орбит и на последней стадии
вычислений отбрасывала большинство из них. Но и в решении конкретных
задач методы классической квантовой теории привели к расхождению с
опытом, как зто показал Крамере**) в 1923 г. в работе, посвященной теории
атома гелия. Он же показал, что модель Бора динамически неустойчива.
Неудача с моделью гелия лишила теорию Бора мощного орудия исследования -
методов классической механики, и вся теория обратилась в почти
интуитивное угадывание истинных отношений.
Параллельно и в связи с развитием, квантовой теории Бора идет развитие
проблемы корпускулярно-волнового синтеза природы света и вещества. Для
того чтобы увязать корпускулярную и волновую картину света и вещества,
классическая физика имела уже разработанный мощный аппарат оптико-
механической аналогии. J1. де-Бройль***) в 1924 г. руководствовался
мыслью о глубоком тождестве принципа наименьшего действия с принципом
Ферма. По мысли де-Бройля основной является задача вывести из волновой
теории такое выражение для групповой скорости, которое представляло бы
скорость луча корпускулярной теории. Де-Бройль воспользовался теорией
относительности для того, чтобы показать эквивалентность принципов Ферма
и наименьшего действия. Он ввел четырехмерный волновой вектор и,
установив связь между ним и таким же вектором принципа наименьшего
действия, нашел для четвертых компонент соотношение 04 = у . JI. де-
Бройль сделал смелую гипотезу о том, что такое же соотношение имеет место
и для других компонент:
Из этой гипотезы следует фундаментальный вывод: динамические возможные
траектории точки тождественны с возможными лучами волны.
*) P. Е h г е n f е s t, Ann. d. Phys., т. 51, 1916, стр. 327.
**) H. Kramers, Zs. f. Phys. т. 13, 1923, стр. 312.
***) Л. де-Бройль, см. стр. 631 настоящей книги.
J Jr d(pr = nh.
(90 >
°-TJ
(91)
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
861
Для квантового условия Бора-Зоммерфельда получается просто, что замкнутая
траектория электрона должна содержать целое число длин волн.
Принцип наименьшего действия и принцип Ферма представляют собой два
аспекта одного и того же закона. Каждая корпускула сопоставляется с
неразрывно связанным с ней волновым процессом. Оптико-механическая
аналогия приобрела новый смысл, особенно когда эксперимент подтвердил
гипотезу де-Бройля.
Следующий шаг в развитии оптико-механической аналогии сделал Э.
Шредингер*) в 1926 г. Он усмотрел в принципе Гамильтона результат игры
волн, который лежит в основе движения материальных точек. Он использовал
оптико-механическую аналогию для того, чтобы "спасти сущность механики,
чье дыхание ясно чувствовалось в микрокосмосе"**).
