Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
строит механические модели, которые могут иметь свойства, аналогичные
тепловым процессам. Таким аналогом могут служить циклические системы, т.
е. такие, свойства которых не зависят от абсолютной величины координат, а
зависят только от скорости их изменения. Поэтому основной проблемой
является построение лагранжиана (по терминологии Гельмгольца-
кинетического потенциала) для подобных систем. Центральную роль играет в
этой проблеме кинетический потенциал, в который скорости входят линейно.
В ряде статей и основной работе "О физическом значении принципа
наименьшего действия" Гельмгольц с помощью кинетического потенциала и
представления о скрытых движениях пытался охватить единой механической
схемой термо- и электродинамику. Выведя значение преобразованного
кинетического потенциала
L = L-vCbqb, (80)
ь
где сь - постоянные,^представляющие неизменяющиеся моменты циклического
движения, a L зависит от qa и qa, определяющих положение и скорость цикла
в целом, и в отличие от L вместо координат отдельных точек qb содержит
также qa и qa, через которые они теперь выражены. Таким образом, в L,
кроме квадратичной функции, входят члены 2J ?ьЯь> которые, после
подстановки в них решения для qb, содержат скорости qa в первой степени.
Это и есть основная особенность циклических систем. Очевидно, что L
останется неизменным при изменении направления процесса на обратное (при
перемене знаков qa), а для движения, характеризуемого кинетическим
потенциалом L, получится новый кинетический потенциал и, следовательно,
другое дифференциальное уравнение. Процесс необратим. Однако наблюдаемых
циклических движений недостаточно для объяснения необратимых движений.
Поэтому Гельмгольц допускает, что существуют скрытые циклические движения
(примером их может служить движение системы из быстро вращающегося шара,
заключенного в непроницаемую оболочку, которая является также опорой оси
вращения).
Рассматривая взаимоотношения между силами, действующими одновременно на
систему в различных направлениях, и соответствующими им скоростями и
ускорениями, Гельмгольц*) с помощью выражения кинетического потенциала и
уравнений Лагранжа выводит законы взаимности между силами и ускорениями,
силами и скоростями, силами и координатами. Так, например, , где
Fa, Fc - силы, действующие на
оде ода
Яаи Яс'> Ят Яс - соответствующие ускорения. Если определенное приращение
qc увеличивает силу Fa, то равное приращение qa увеличит силу Fc в том же
отношении. Эти соотношения взаимности интересны тем, что они приложимы и
к немеханическим явлениям. Гельмгольц получает из них электродинамический
закон Ленца, закон термоэлектрического эффекта и ряд других.
Гельмгольц исследовал также вопрос о том, какая форма кинетического
потенциала требуется электродинамикой Максвелла.
Стремление устранить из физики понятие потенциальной энергии является
характерной особенностью кинетического направления в физике второй
половины XIX в. В 1883-1888 гг. Дж. Дж. Томсон**) использовал полу-
*) Нj Helmholtz, Vorlesungen ilber die Dynamik diskreter Massenpunkte, т.
1,
1911.
**)J- J- Thomson, Applications of Dynamics to Physics and Chemistry,
London, 1886.
854
Л. С. ПОЛАК
ченные Раусом в механике результаты для того, чтобы показать, что
различные виды потенциальной энергии, наблюдаемые в природе, могут
рассматриваться как наблюдаемый эффект скрытых движений. Исходя из
убеждения, что итоги развития физики за предшествующие пятьдесят лет
показывают объяснимость всех физических явлений динамическими принципами,
Дж. Томсон ставит перед собой задачу с помощью принципа Гамильтона и
уравнений Лагранжа исследовать различные физические явления без
использования второго начала термодинамики. Преимущество такого подхода -
в фундаментальноюбобщающем характере его; трудность -в том, что в каждом
отдельном случае требуется дальнейшее исследование для перевода
физических величин на язык механических понятий, т. е. необходим
некоторый критерий для установления того, является ли та или иная
физическая величина координатой или ее производной. Используя тот факт,
что применение принципа Гамильтона не требует знания природы механизма
исследуемых систем, Дж. Томсон развивает кинетическую концепцию
потенциальной энергии.
Пусть в Т некоторые координаты qj входят только в виде q} и нет выражений
вида произведений q^j, тогда для s = i
Исключим теперь q}. Этот важный шаг был сделан впервые Раусом. Координаты
qj Дж. Томсон назвал киностеническими, У. Томсон и П. Тэт - игнорируемыми
координатами, Гельмгольц дал этим явлениям наименование скрытых движений.
По исключении q} величина Т перейдет вТ и
где правая сторона-функция только qh Если рассматривать правую сторону
как силовую функцию U, то можно объяснить появление силовой функции чисто
кинетическим способом и свести, таким образом, потенциальную энергию к
кинетической энергии "игнорируемых" масс. С точки зрения Дж. Томсона, вся
энергия - кинетическая, все члены в уравнениях Лагранжа выражают
