Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
В 1866 г. Больцман поставил вопрос о "механическом значении второго
начала теории теплоты". Для того чтобы ответить на него, он рассматривал
средние значения силовой функции и живой силы системы, в которой движения
являются периодическими, и вариации этих средних значений, когда
изменяются внешние воздействия на систему. В такой постановке задача,
естественно, приводится к принципу Гамильтона. Обобщая принцип
Гамильтона, найдем:
2 d j Tdt = j (dh + SV)dt + 2' Prfy,-
<5 to to
t-i~\ <5i,
(78)
где V
потенциальная энергия, с которой связаны силы, приложенные
к системе для того, чтобы сохранить связи постоянными, а р,
Э L
dqi
. Этим
уравнением воспользовались в 1871-1872 гг. Чили и Клаузиус; в 1897 г.
Больцман вывел его в самом общем виде: теплота, сообщенная системе при
некотором переходе, равна сумме приращения внутренней неупорядоченной
энергии и упорядоченной работы, произведенной системой. Если этот переход
совершается непрерывно и постепенно от момента t0 до момента то для него
выводится формула Больцмана в общем виде :
dt
2d^Tdt-2 Pi dq
/о"Ь dU
(79)
*) R. Clausius, Uber die Zuriickfiihrung des zweiten Hauptsatzes der
mechanischen Warmetheorie auf allgemeine mechanische Principien. Pogg.
Ann., 142, 1871, стр. 461.
**) R. Clausius, Uber einen neuen mechanischen Satz in Bezug auf
stationare Bewe-gungen, Pogg. Ann., 150, 1873, стр. 106.
54*
852
Л. С. ПОЛАК
В случае периодического движения последний член исчезает, J Tdt = 7т,
Т
где Т - среднее значение кинетической энергии, т - период, и получаем
AQ - ^d\Tdt = ~ (Тг)- Если процесс адиабатический, то AQ - О
и Тт = const, т. е. Тт - адиабатический инвариант. Этот же метод можно
применить к изучению условно-периодических систем, которые можно
рассматривать как наложение совокупности периодических систем с
различными несоизмеримыми периодами.
Такими процессами можно апроксимировать тепловые движения, исследуя их с
помощью обобщенного принципа Гамильтона. Найденные аналоги не принесли
сколько-нибудь нового и перспективного понимания тепловых явлений, в то
время как статистическая механика вскрыла глубокий смысл необратимости в
учении о вероятности состояния системы и о флуктуациях, представление о
которых чуждо классической механике. Однако рассмотренное направление
дало ряд результатов, которые обогатили физическую науку: обобщение
принципа Гамильтона, теорию цикли-
ческих систем, понятие об обобщенных вариациях и об условно-периодических
движениях. Они нашли немаловажное применение в различных областях физики.
Трудности, возникшие перед физикой, стремившейся свести все многообразие
физических явлений к механическому движению, послужили одной из причин
назревавшего в конце XIX в. кризиса в физике, выразившегося, в частности,
в появлении направлений, проповедовавших отказ от объяснения явлений и
переход к чистому описанию. В физике конца" XIX в. эту идею провозгласил
так называемый энергетизм. Энергетики пытались построить всю физику на
основе понятия энергии (исключив вещество с его сложной атомистической
структурой), опираясь на закон сохранения энергии и принцип Гамильтона.
Больцман подверг критике допущенные энергетиками научные ошибки, а Ленин
- их философскую концепцию. Крах "энергетики" показал, что построить
физику чисто феноменологически нельзя. Тот факт, что и энергетики, и их
противники пользовались принципом Г амильтона, показывает, что один и тот
же математический аппарат может служить для оформления различных
физических картин. Физическая картина мира может строиться при помощи
принципа Гамильтона, но не может быть из него выводима (если не знать
заранее, что требуется получить).
В XIX в. идеал Лапласа еще казался осуществимым. Согласно Гельмгольцу,
сведение всех физических явлений к действию механических сил является
основой полного понимания природы. В 80-х годах XIX в. Гельмгольц*)
пришел к выводу, что для решения этой основной задачи нужно использовать
принцип наименьшего действия, обобщив его на тот случай, когда лагранжиан
есть функция q и q любой формы, т. е. отказаться от характерного для
механики допущения, что кинетическая энергия есть однородная квадратичная
форма скоростей, а потенциальная энергия - функция только координат (и
времени). Принцип наименьшего действия, по мнению Гельмгольца,
представляет собой эвристический принцип для формулирования законов новых
классов явлений. Для такого расширения сферы применения принципа
необходимо ввести в рассмотрение скрытые движения некоторых недоступных
нашему наблюдению масс. Клаузиус пытался решить ту же проблему, введя
гипотезу об изменении законов природы, происходящем по определенным
законам. Однако установление
*) Н. Helmholtz, Die physikalischen Bedeutung des Princips der kleinsten
Wir-kung, Wiss. Abhandl., т. 3, 1895, см. также стр. 430 настоящей книги.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
853
такой иерархии законов создает новые трудности для науки. Гельмгольц же
