Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин*). В
его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2-го рода, входит некоторая
квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид
дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было
проведено П. Воронцом**).
Другое направление механики неголономных систем связано с работами П.
Аппеля***), который в 1899 г. подучил уравнения, действительные как для
голономных, так и неголономных связей. Однако, в отличие от уравнений
Чаплыгина - Воронца, для составления уравнений Аппеля требуется
предварительное нахождение некоторой квадратичной функции обобщенных
ускорений (а не обобщенных скоростей) - дифференциального выражения
второго порядка.
Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы: первым шагом
явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем
лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория
Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования; затем Гамильтон
представил интегральные уравнения посредством единственной
характеристической функции, определяемой a posteriori посредством
интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия,
что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным
уравнениям в частных производных; Гамильтон же нашел новую форму
уравнений движения; Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений
динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального
уравнения в частных производных; он же развил теорию последнего множителя
системы дифференциальных уравнений движения; Остроградский рассмотрел
проблему интегрирования уравнений динамики; Раус нашел новую форму
дифференциальных уравнений движений; Пуанкаре развил теорию интегральных
инвариантов; наконец,
*) С. А. Чаплыгин, О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной
плоскости, Труды отд. физич. наук Общества любителей естествознания, т.
9, в. 1, 1897, стр. 10-16; Поли. собр. соч., т. 1, 1933, стр. 159-171.
**) П. В о р о н е ц, Об уравнениях движения неголономных систем, Матем.,
т. 22, вып. 4, 1902, стр. 43.
***) P. Appel, Sur les Mouvements de roulement; 6quations du mouvement
analogues a celles de Lagrange, Comptes Rendus, 129, 1899, стр. 317-320.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
849
Чаплыгин, Аппель и др. обобщили уравнения динамики голономных систем на
системы неголономные. Одновременно с этим процессом развития собственно
аналитической динамики и в, первую очередь, ее математических методов,
шел и процесс выяснения ее внутреннего геометрического смысла - процесс
синтеза геометрического и аналитического аспектов.
Принципы Гаусса и Герца
Особое место среди вариационных принципов механики занимает принцип
наименьшего принуждения, сформулированный Гауссом*) в 1829 г.,
установление которого непосредственно связано с его работами о способе
наименьших квадратов. Особенностью принципа Гаусса является то, что
задача определения движения сводится к отысканию минимума конечного
выражения
2'(ВГСГ)\
г
где ВГСГ - отрезок, соединяющий точку Вп в которой оказалась бы частица
при свободном движении через время dt, с точкой Сп соответствующей ее
положению при наложенных связях. Это геометрическое выражение принципа
Гаусса может быть приведено к выражению через силы в виде тре-
/ V. \2
бования минимума для ^mr 5сг , где выражение в скобках есть, в
f ч тг)
известном смысле, мера действия внешних условий на r-ю координату, так
как оно дает отклонение от свободного движения, вызванное принуждением.
Если ввести потерянные силы в смысле Д'Аламбера и обратные массы, то
окажется, что в выражении принципа они играют такую же роль, как
погрешности и статистические веса в теории ошибок.
В принципе Гаусса, в отличие от рассмотренных ранее вариационных
принципов, варьируются лишь ускорения хг.
Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892--1893 гг. Герц**), разработавший
принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он
сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым
геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным
случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на
систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во
взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы,
вводя кроме наблюдаемых еще и "скрытые массы" и "скрытые движения".
Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о
"скрытых движениях" (введение которых у Герца оказывается логически
необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа
по выяснению основ механики. В своей формулировке: "каждое естественное
движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система
движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей", Герц
объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего
принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией
