Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
изменяется, если переместить каким-либо способом каждое из составляющих
его состояний вдоль траектории, соответствующей этому состоянию.
Подынтегральное выражение можно рассматривать как элементарную работу
четырехмерного вектора, имеющего в качестве пространственных компонентов
три компонента импульса, а в качестве компонента по времени - энергию.
Если теперь взять последовательность одновременных состояний, т. е.
положить dt = 0, то получим
J Z ml Xi dxt,
для которого имеет место следующая теорема: если рассматривать замкнутую
последовательность траекторий и если взять на этих траекториях состояния,
соответствующие какому-либо определенному моменту Ц то интеграл J 2 &хь
взятый по замкнутой последовательности полученных таким образом
состояний, не зависит от t. Это и есть определение интегрального
инварианта согласно А. Пуанкаре.
Картан отмечает следующее важное обстоятельство: "Замечательно, что если
вместо последовательности одновременных состояний мы будем рассматривать
последовательность состояний, удовлетворяющих соотношениям dXj - Xidt, то
тензор 2' mi Xi й.т,-Е дТ приводится к элементарному действию Гамильтона
V = Ц,- m х2 + U j dt.
Следовательно, "интегральный инвариант Пуанкаре и действие Гамильтона
представляют собой лишь два различных вида интеграла "количество движения
- энергия", хотя с первого взгляда между этими двумя понятиями и нет
никакой связи"*).
Доказав, что дифференциальные уравнения движения являются единственными,
которые допускают в качестве инварианта интеграл J Vdr, взятый по любому
замкнутому контуру, можно перейти к построению других интегральных
инвариантов. Из них очень важное значение имеет интегральный инвариант
J J 2'dptdqi.
Он означает, что если дано двумерное многообразие траекторий и на каждой
траектории состояние, соответствующее определенному моменту времени t, то
двойной интеграл, распространенный по всем этим состояниям, не зависит от
t.
Существуют ли и другие инварианты при канонических преобразованиях?
Пуанкаре указал на ряд интегральных инвариантов. Можно показать, что
интеграл
J = S$ZdPidqi,
распространенный на любые двухмерные части 2/-мерного пространства (р,
q), является таким инвариантом.
Пусть pi и qi - функции двух параметров и и v, тогда
9 Pi dqi
" ^ ди ди
dudv. (73)
Л JJf % V
! dv dv !
*) Цит. книга, стр. 16-17.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
847
Инвариантность J1 будет доказана, если показать, что 2
dpi dqj dpt dqt
du du du du
= 2
dpi dqi i dp, dqi
dv dv dv dv
(74)
при условии, что qt, р, получаются из q и р с помощью канонических
преобразований. Напишем преобразование в форме
Pi
(75)
dV (qlt Pl, ... ,t) dV(q1.p1, ... ,t)
dqi ~ ' 4i dpt
где V - некоторая функция, зависящая от 2/ старых и новых переменных, а
также от времени ; V называется производящей функцией канонического
преобразования.
Заменяя с помощью преобразований (75) qh р, через qh ph имеем :
dpt dqi У d2v dpk dqi dpk dqi
du du = 2 к dqt dpk du du - у r<flV du du
dpi dqt У 02K dpk dqt 7k dqi dpk dpk dqi
dv dv к dqt dpk dv dv dv dv
Переставляя индексы, получим :
-у Э 2У 1Г дЧк dpi
dpi
du
dpi
dv
dqk
du
dqk
dv
Теперь, если воспользоваться вторым из уравнений (75), то подынтегральное
выражение будет:
dpi у d2V dqk dpi dqt
du dpi dqk du = 2 du du
dpi \ d*V dqk i dpi dqi
dv '7Г dpidpk dv dv dv
(76)
а также
чем и доказана инвариантность Jv
Вполне аналогично можно доказать инвариантность выражения
Jt = ^^2dptdpkdqtdqkt
= dpk dpi d4i d4k dqi
и так далее и, наконец, последнего интеграла
Jf = S ... $dp1...dpfdq1...dqf.
Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инвариантом
относительно канонических преобразований.
Пуанкаре с замечательным успехом использовал интегральные инварианты в
своих исследованиях по устойчивости.
В заметке, опубликованной в 1896 г. в Comptes Rendus, Кёниге также
исследовал интегральные инварианты, выражаемые (л - 1)-кратными
интегралами вида
848
Л. С. ПОЛАК
в предположении, что коэффициенты X дифференциальных уравнений, равно как
и функции М,, не зависят от t.
А. Пуанкаре выяснил связь теории интегральных инвариантов с теорией
множителей системы Якоби, важность которых для интегрирования системы
d*j =\X(x(t)), J - 1,2, ..., п
уже отмечена нами. Эта связь состоит в том, что функция под знаком
интегрального инварианта порядка, равного порядку системы, является
множителем Якоби и обратно.
Пуанкаре не ограничился исследованием только инвариантов порядка, равного
порядку системы; он показал, что полезно ввести в рассмотрение и более
общие инварианты, определяемые интегралами, распространенными на
многообразие с каким угодно числом измерений, меньшим порядка системы
(линейные, поверхностные и другие интегралы).
Распространение принципа Гамильтона на системы с произвольными связями
выдвинуло проблему вывода уравнений движения для неголоном-ных систем.
Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не
