Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 40

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 461 >> Следующая

эти два случая совершенно различны между собой, он показывает, что и в
первом и во втором случае вышеупомянутый закон выполняется. Полагая массу
каждого из трех тел равной М, расстояние до центра, к которому оно
притягивается, равным z и самую силу равной fzn, он показывает с помощью
обыкновенных принципов Динамики, что в случае равновесия сумма выражений
Mjzndz, соответствующих каждому из тел, равна нулю.
Отсюда, очевидно, следует, что сумма их интегралов или п ^ Mfzn+1
будет максимумом или минимумом, и если показатель п всюду один и тот
же, то можно опустить общий коэффициент п ^ .
V. Поскольку оба рассмотренных случая совершенно различны между собою,
легко установить, что то же самое правило должно иметь место во всех
случаях равновесия трех тел, потому что каково бы ни было состояние тел,
оно должно быть свойственно им всем. Очевидно также, что если вместо трех
тел система будет составлена из многих и даже из какого угодно числа
тел,это правило всегда будет иметь место. Кроме того, не обязательно,
чтобы силы были пропорциональны расстояниям в одинаковой степени, если
только
не пренебрегать коэффициентами, поскольку они различаются между
собою для различных тел, на которые действуют силы.
VI. Ничто не мешает также предположить силы непропорциональными любым
функциям расстояний. Так, если какое-либо из тел с массой, равной М, и с
расстоянием до центра силы, равным г, притягивается к этому центру какой-
нибудь ускоряющей силой, равной V (вместо fzn), то с помощью тех же
рассуждений найдем, что в состоянии равновесия сумма всех выражений MV dz
будет равна нулю. И, следовательно, сумма их интегралов §MVdz будет
максимумом или минимумом. Здесь следует заметить, и это я покажу ниже,
что в действительности имеется два вида равновесия, для одного из которых
сумма этих выражений является минимумом, а для другого - максимумом.
VII. Если одно и то же тело М, являющееся частью системы, увлекается в
одно и то же время к различным центрам, от которых оно удалено на
расстояния z, z', z" и т. д. несколькими ускоряющими силами V, V', V" и
т. д., то каждая сила в отдельности образует для этого тела М выражение
указанного выше вида ; и полное выражение для этого тела, входящее в
формулу максимума или минимума, будет:
J MVdz + J MV' dz' + j MV" dz" + ...
Или, так как масса тела М постоянна, это выражение примет вид:
М($ V dz + j У dz' + J V"dz" + ...).
Сумма всех подобных выражений, соответствующих каждому телу системы,
будет обязательно максимумом или минимумом в случае равновесия. Или же,
так как MV, МУ,'МУ' и т. д. выражают движущие силы, то, если обозначим
движущие силы через V, V', V" и т. д., наша формула запишется так:
J Vdz + J V'dz' + $V"dz" + ...
VIII. Не обязательно также рассматривать полные расстояния каждого тела
до центров сил, к которым оно притягивается ; для удобства вычисления на
направлениях, по которым тела увлекаются, допустимо брать произвольно
фиксированные точки и рассматривать расстояния до этих точек.
80
Л. ЭЙЛЕР
Пусть эти расстояния будут v, v', v" и т. д. в отличие от расстояний z,
z', z" и т. д. до самых центров. Так как разности между этими
расстояниями z - v, z' - v', z" - v" постоянны, то получим dz = dv, dz' =
dv' и dz" - dv", так что выражение для формулы максимума или минимума
будет иметь вид:
М (J Vdv + J V dv' + j' V" dv" + и т. д.).
В нем можно опустить массу М, тогда V, У', У" и т. д. будут выражать уже
движущие силы.
IX. Следовательно, если имеется система каких-нибудь тел, находящаяся в
равновесии, то будем рассматривать отдельно каждое тело со всеми,
действующими на него силами; в результате этого для тела, масса которого
равна М, получим формулу
M(j Vdv + j V dv' + j У" dv" + и т. д.),
где У, V, У" и т. д. обозначают ускоряющие силы ; но если последние
обозначают движущие силы, тогда следует опустить массу М, так как она уже
содержится в этих обозначениях. Затем из всех этих формул, найденных для
каждого тела или каждой частицы системы тел, составим сумму; эта сумма,
являясь максимумом или минимумом, определит состояние равновесия. К этому
правилу сводится, следовательно, универсальный принцип равновесия
Мопертюи, распространяющийся на все тела, как на твердые, так и
на жидкие, как несгибаемые, так и сгибаемые, и даже упругие, как можно
видеть из Мемуаров, находящихся в у Mem. de l'Acad. Roy. des Sciences et
Belles Lettres de Prusse за 1748 г., где я исследовал, что является
максимумом или минимумом в состоянии равновесия этих различных видов тел.
X. Так как этот принцип приводит к формуле
j Vdv 4- j V'dv' + j У" dv" + и т. д.,
то я позволю себе, как для краткости, так и для точности речи, назвать
это выражение особым словом, и мне кажется, что слово усилие [d'effort]
было бы наиболее подходящим. Так как сумма всех таких выражений,
соответствующих каждому элементу тела, в равновесии является максимумом
или минимумом, неплохо было бы сказать, что сумма всех усилий в случае
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed