Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
экстремума интеграла действия Слудский сводит к вычислению безусловного
экстремума по способу неопределенных множителей Лагранжа, причем
неопределенный множитель X определяет по способу Родригеса с помощью
уравнений, относящихся к пределам интеграла.
Вывод Слудского представляет развитие способа Родригеса и распространение
его на случай, когда координаты точек системы не являются независимыми, а
удовлетворяют уравнениям связей. Кроме того, Ф. А. Слудский внес в способ
Родригеса ясность и определенность, четко выделив изохронные и полные
вариации координат.
Без ссылки на Родригеса и, по-видимому, независимо от него Е. И. Раус,
начиная с 1877 г., опубликовал аналогичные исследования******) о принципе
наименьшего действия. Раус исходит из основного уравнения, в котором он
варьирует также и t:
где Ф есть функция q, и t. Отсюда, во-первых, следует, что если Ф = Т +
U,
*) Ф. А. Слудский, О начале наименьшего действия, Матем. сб., т. 2, 1867.
**) М. И. Талызин, О начале наименьшего действия, Матем. сб., т. 2, 1867.
***) О. И. Сомов, Замечания, относящиеся к принципу наименьшего действия,
Матем. сб., т. 5, 1870.
***¦) И. Д. Соколов, О начале наименьшего действия, Матем. сб., т. 5,
1870;
В. П. Ермаков, Принцип наименьшего действия в связи с преобразованиями
дифференциальных уравнений второго порядка, Киевские университетские
Известия, 1891 ;
Г. К. Суслов, К вопросу о начале наименьшего действия, Киевские
университетские Известия, 1891 ;
Д. К. Бобылев, О начале Гамильтона или Остроградского и о начале
наименьшего действия, Приложение к 61-му тому Записок Академии наук,
Спб., 1889.
*****) Н. Е. Жуковский, Собр. соч. т. I, 1948, стр. 51-57 и 207-209.
******) R о u t h, A treatise of stability of a given state of Motion,
London, 1877.
<3 j Ф Л = [ФЛ +2^- (% - q, Щ +
(51)
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
835
dt = 0 и на пределах интегрирования dq, = 0, то 5 J (Г + U)dt - 0, т. е.
имеют
силу уравнения движения, открытые Лагранжем, и наоборот; во-вторых, когда
U и уравнения связей определенно не зависимы от времени, то Ф - 2Т и dqt
= 0 на пределах интегрирования, a dt, однако, не равно нулю, так что мы
можем построить еще условие для варьирования. В этом случае мы избираем
условие, что энергия Т - U в момент времени t в действительном движении
равна энергии в варьированном движении в соответствующий момент времени t
+ 8t, иными словами, мы определяем 8t из уравнения 6 (Г - U) = 0, и тогда
легко видеть, что принцип наименьшего действия равнозначен системе
уравнений Лагранжа.
Здесь полезно еще раз заметить, что когда вводится условие, что энергия
при действительном движении постоянна, то имеется в виду, что-^ = 0,
но не обязательно, чтобы было также dh = 0. У Гамильтона в "принципе
переменного действия" мы рассматриваем "действие" V = J 2Tdt при условии,
что dh не равна нулю и
8V = 2J Щ к, бх, + t dh. (52)
В принципе же наименьшего действия, наоборот, рассматривается множество
движений системы между заданными начальными и конечными положениями,
причем здесь каждое движение, кроме естественного, является вынужденным.
Процесс варьирования здесь совершенно другой, и поскольку энергия как в
ходе каждого отдельного движения, так и в любом движении
постоянна, то имеем как~ = 0, так и dh = 0.
Замечание Рауса, что dx - к dt есть виртуальное перемещение,
использовано А. Фоссом*) и М. Рети**) для другого случая,
а именно, когда урав-
нения связей не являются определенно независимыми от времени.
В самом деле, х = <рп (qh t), где qt - обобщенные координаты, и поскольку
t должно варьироваться,
v Цр , зу 0Х ^ дщ ' dt
Следовательно, дх - д dt есть виртуальное перемещение. Но и в том
случае, когда мы вместо 8qt пользуемся другими вариациями qh то есть dqt
- q dt, то
2 цт (d(,i ~ ^ ^дх ~ х dt
также есть виртуальное перемещение. Вообще говоря, значение какой-либо
функции у = <р{х) может изменяться при изменении независимой переменной х
на dx (ради краткости мы пользуемся здесь обозначением дифференциального
исчисления), так что дифференциал dy будет выражаться так:
dy = (р (х + dx) - (р (х).
*) A. Voss, Uber die Principe von Hamilton und Maupertuis. Nachrichten
von der Konigl. Gesellsch. der Wissensch. zu Gottingen, Math. Phys.
Kdasse, Gottingen, 1900 стр. 322-327. См. также стр. 564 настоящей книги.
**) М. R 6 t h у, Ober das Princip der Kleinsten Action und das
Hamilton'sche Princip. Math. Annalen, т. 48, 1897, Leipzig, стр. 514-547.
836
Л. С. ПОЛАК
Значение у может также изменяться, без изменения t, благодаря вариации
формы функции <р (от <р (х) до <рх (х) = (р (х) + е<р (х), где <р (х) -
любая функция, е - бесконечно малое положительное число).
Оставляя обозначение "вариации" 8 лишь для изменения формы <р, получим
для полного изменения у : dy + бу, так как dx = 0, то есть независимая
переменная не варьируется, но и не является неизменной и, кроме того, t
dn у dn д у
dxn dxn '
Тем не менее, Лагранж варьировал также и независимые переменные.
