Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 396

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 390 391 392 393 394 395 < 396 > 397 398 399 400 401 402 .. 461 >> Следующая

любых значений первой группы определены значения второй, и наоборот.
Таким образом устанавливается соответствие между двумя группами
переменных. Математическое выражение такого соответствия называется
преобразованием. Если каждому значению переменных одной группы
соответствует одно и только одно распределение значений второй группы и
если обратное тоже имеет место, то такое соответствие между двумя
группами называется одно-однозначным. Если обозначить первую группу
значений через А, то преобразование, выражающее однооднозначное
соответствие, определяет вторую группу значений переменных А'.
Интересующий нас вид преобразований был развит Софусом Ли.
В замечательной работе "Die Storungstheorie und die Beriihrungtransfor-
mationen", опубликованной в 1877 г., Софус Ли рассмотрел связь
касательного преобразования с задачей возмущенного движения. Глубокая
мысль Ли состоит в том, что проблема теории возмущения по самому
своемусуществу есть проблема преобразования.
Он указывает, что в теории возмущений рассматривается следующая задача :
определить общее преобразование
%к ** (^11 • • • > > Pl 1 • • • у Рп) > I 148^
Рк = (^1 > • • • > %п > Pit ¦ • • I Рп) I I
которое одновременно преобразует систему, имеющую форму
V dF dF /лп\
к ~ дрк ' Рк ~ дхк ' ( )
в систему той же формы между новыми переменными. Эти преобразования Ли
назвал "касательными". Дело в том, что если две кривые на исходной
плоскости касаются одна другой, то это означает не что иное, как то, что
они имеют общий линейный элемент. Тогда и соответствующие им кривые в
новой плоскости преобразования также должны иметь общий линейный элемент,
т. е. общую точку с общим направлением в ней. Касание двух кривых
является, следовательно, инвариантным свойством этого преобразования. На
это и указывает его название.
Касательное преобразование Софуса Ли, имеющее исключительное значение в
общей теории преобразования, находит применение в механике как в силу
своей связи с теорией возмущений, так и из-за того, что так называемое
каноническое преобразование, столь важное в динамике, является частным
случаем касательного преобразования.
В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют развитие
механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные
импульсы р. Гамильтонова функция Н(р, q), которая входит в гамильтоновы
уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы
преобразуем переменные q и р в новые переменные q ир посредством какого-
832
Л. С. ПОЛАК
либо произвольного преобразования, то общая форма гамильтоновых уравнений
изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование,
отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений
неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими
уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование
канонических преобразований*). Канонические преобразования представляют
собой специальный случай касательного преобразования. Касательное
преобразование в трехмерном пространстве определяется так:
* = f(x,y,z, рх, ру), у' = ср (х, у, z, рх, ру), z' - (х, у, z, рх,
Ру) .'
В том случае, когда ни х', ни у' не зависят от z и только z' зависит от
этой переменной, причем г' имеет вид z + /(х, у, рх, ру), мы имеем
каноническое преобразование.
Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование
гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Уравнения сохранили свою
форму, но гамильтонова функция H(q, р) превратилась в функцию H(q, р)
новых переменных q и р. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы
уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и
задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь
никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби
показал, что если можно построить такое каноническое преобразование,
которое преобразует гамильтонову функцию H(q, р) в Н(р), которая содержит
только переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть
немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена.
Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования
уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического
преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона
является примером преобразования одной математической проблемы в другую.
Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение
совершенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для
случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле.
Важность скобок Пуассона определяется тем, что они инвариантны по
отношению к касательным преобразованиям, т. е. к таким преобразованиям
канонических переменных, которые оставляют уравнения движения
неизменными. В силу этого уравнения движения могут быть выражены
посредством скобок Пуассона. Условия того, чтобы преобразование,
преобразующее одну систему переменных в другую, было касательным, могут
Предыдущая << 1 .. 390 391 392 393 394 395 < 396 > 397 398 399 400 401 402 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed