Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Трудно указать какую-либо другую область физико-математических наук, в
которой столь глубоко сочетались бы абстрактные математические
исследования и конкретное физическое содержание. Вариационные принципы
механики - не только великолепный инструмент научного исследования самых
сложных и многогранных проблем природы и техники, но и своеобразная форма
выражения законов движения, имеющая смысл далеко за пределами
классической механики, в которой она возникла.
Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп
преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов
механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной
картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей,
вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и
структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами.
I. РАЗВИТИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ
Предыстория вариационных принципов механики и оптико-механической
аналогии
Вариационный принцип для физической проблемы впервые был отчетливо
сформулирован в геометрической оптике в XVII в. и применен к решению
задач отражения и преломления света. Это был принцип кратчайшего времени
или принцип Ферма. Естественно, возникает вопрос о том, почему
экстремальный принцип возник первоначально в оптике, а не в механике,
хотя и в последней уже в то время имелось достаточно отдельных
высказываний о простоте законов движения или, в телеологическом варианте,
о том, что природа достигает своих целей простейшими средствами.
Дело в том, что для оптической задачи величина, которая должна быть
минимумом в конкретных явлениях, легко доступна пониманию и не требует
дальнейших исследований. Это -время. Как бы ни относиться к философским
проблемам, связанным с категорией времени, наглядные и издревле
измеряемые интервалы времени в достаточно широких пределах не нуждаются в
другом определении, кроме возможности сравнения их, т. е. установления
отношений равенства и "больше или меньше".
Иное положение в механике. В механике совсем не очевидно, какая величина
в процессе движения должна быть минимумом (или максимумом),
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
781
и, как мы теперь знаем, структура этой величины отнюдь не является
простой; в механике, кроме того, необходимо специальное выяснение
характера варьированных движений.
Поэтому, хотя поиски экстремальных соотношений в оптике и механике
начались на самой заре развития вариационного исчисления, которое и
возникло в связи с этими поисками и при решении соответствующих частных
задач (например, задачи о брахистохроне), однако оформились они в виде
ясных математических выражений раньше всего в оптике, где не требовалось
ни разработки такого сложного понятия, как "действие", ни выяснения
характера его варьирования. Однако время входит и в картину механического
движения, поэтому, почти одновременно с возникновением принципа
кратчайшего времени в оптике, возникла идея о применении его в механике,
а также о разработке в механике самостоятельного, но аналогичного по
структуре принципа. Механистическая концепция физической картины мира
подсказывала возможность единого принципа для оптики и механики - первая,
еще не ясная, но чреватая многочисленными последствиями идея оптико-
механической аналогии.
Пьер Ферма в 1662 г. положил в основу своего исследования закона
преломления принцип кратчайшего времени. В заметке "Synthesis ad Refrac-
tiones" он вывел закон преломления света геометрическим способом, исходя
из этого принципа. По мнению Ферма, "природа действует наиболее легкими
доступными путями, а отнюдь не более краткими", как это думают многие.
Это положение является единственным постулатом, который Ферма кладет в
основание своих рассуждений. Конкретизируя эту идею, он говорит: "Подобно
тому как Галилей, когда рассматривал движение тяжелых тел в природе,
измерял отношения его не столько расстоянием, сколько временем, мы так же
рассматриваем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут
быть пройдены легче, удобнее и за более короткое время*)".
Вывод закона преломления, проведенный геометрическим способом, очень
громоздок. В изложениях различных авторов своеобразная прелесть
рассуждений Ферма почти исчезает.
Как известно, принцип Ферма является наиболее общей математической формой
выражения законов геометрической оптики.
Итак, принцип кратчайшего времени был сформулирован и продемонстрирован в
геометрической оптике. Немедленно и закономерно возникла проблема
отыскания аналогичных задач с минимальным значением времени в механике.
Рассмотрение одной из них связано с возникновением вариационного
исчисления р привело в дальнейшем к формулированию вариационного принципа
в механике. Более широкая постановка таких задач связана с проблемой
определения кривой при условии, что некоторая величина, связанная с ее
формой, имеет максимум или минимум, т. е. отысканием кривой, обладающей
