Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
орбитами, отнесенными к центру Солнца, я все же думаю, что свойство моих
новых орбит, заключающееся в том, что они непосредственно дают компоненты
скорости каждой планеты относительно центра тяжести всей солнечной
системы, связывает их даже несколько сильнее, чем у Лагранжа, с идеей
сложной системы, движущейся вокруг своего общего центра тяжести и в
каждой части находящейся под влиянием действий всех остальных частей.
Исходя из связи указанных орбит с этой идеей и из необходимости принимать
в соображение массы и движения всей солнечной системы, прежде чем новые
элементы какой-либо планеты могут быть совершенно точно определены, я
почувствовал соблазн дать этим новым эллипсам название систематических
планетных орбит. Их вековые изменения следуют тем же законам, что и у
обыкновенных орбит. И вообще, если бы этот новый способ приняли, то не
было бы необходимости отбрасывать все прежние результаты, ибо обратная
величина расстояния между двумя планетами является главным пунктом,
который нужно развить как в функции Лагранжа, так и в моей возмущенной
функции, хотя развитие у меня будет, конечно, более симметричным .. .
AQ RanuanuoHHUe ППИНПИПМ МвХЭНИКИ
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ ПИСЬМА Н. Д. БРАШМАНУ [*"]
I
Мой дорогой и добрый друг!
Мое зрение служит причиной того, что я до сих пор не послал Вам статью о
принципе наименьшего действия; вот она.
Я беру уравнение движения в форме
^{xdx+Ydy + Zdz-m ^±^y + d2zdz j = о.
Допустим, что
2(Xdx+Yby + Zdz)
является полной вариацией некоторой функции П, то есть что эта сумма
равна дП; мы будем иметь :
дП = 2m(dixdx + dl*y + d2zdz).
С другой стороны,
d2x дх + (Руду + d?zdz = d (dx дх + dydy + dz dz) -
- (dx ddx + dyddy + dzddz) = d (dx dx + dydy + dz dz) -
__ g dx +-fe = d (dx dx + dydy + dz dz) - vdv dt2,
где v означает скорость движущейся материальной точки т. Таким образом,,
уравнение движения получает вид
' dx dx + dy ду + dz dz
in" v-f i л Х-" - ( dx dx + dy dy + dz dz }
dn + 2 mvdv = d2m [---------------------J,
или же
дП + д2^ = й2т (dx8x + dyi^ dz8z),
или, наконец, если обозначить через Т живую силу системы*): d(n + T) =
d2m (dx6x + dy + d2fc).
tnv*
*) Лагранж и другие математики называют 2~2~ половиной живой силы, но
теперь
mv*
довольно распространенным является обозначение 2-- как всей живой силы,
что следует предпочесть.
ПИСЬМА Н. Д. БРАШМАНУ
771
Я умножаю последнее уравнение на dt и интегрирую его в пределах, для
которых х, у, г имеют значения х", у0, Zg и xv yv zx; я имею :
ё J (П -j- Т) dt = V m dxi Sxi + аУг tyi + dzi Szi j _
2 dx° ^*0 ^y° ~Ь dzo ^zq j
Поэтому, если вместе с Лагранжем ограничить общность вариаций,
относя их к кривым, которые все начинаются в точках х", у0, Zg и все
оканчиваются в точках хх, у1г zx, то мы будем иметь 8х0 = 0, 6у0 = 0, dz0
= О, = 0, дух = 0, - О, следовательно,
д J (Я + 7) dt = 0 ,
а это означает, что J (П + Т) dt имеет минимум. Согласно Лагранжу имеет
минимум J Tdt, но его анализ неточен.
Не знаю, достаточно ли ясно я выразился относительно дх0 = 0, <5у0 =0,...
Вот в чем дело: координаты х, у, z принадлежат кривой, которую описывает
точка т, проходящая через точки х0, у0, z0 и хх, ух, zx; координаты х -j-
8х, у + ду, z + 8z принадлежат близкой кривой, которую Лагранж подчиняет
условию проходить через те же точки, благодаря чему оказывается дх0 - О,
бу0 = 0, ... Итак, именно j (Я -j- T)dt, а не J Tdt, имеет минимум.
(Автор высказывает здесь неудовольствие против той части анализа
Лагранжа, где обратно, из условия dfjTdt, выводятся уравнения
движения.)*) Что же нам сказать по этому поводу? Нужно обратить в минимум
интеграл + 7') dt; мы будем иметь :
J (дП + дТ) dt = 0;
но
i'r __ XI (dx ddx + dyddy + dzddz}
- Z tn ( dt2 J -
= __ у m ^2х~- 6y + d~z dz j + d 2m[dx 6x + dy Sy + dz 6z j
После подстановки получаем:
S[tn-2m (^±^r±S.'-b) ] =
= у m ( dX° 6x° + dy° dy° + dZ° 6z° j _ у rn ^ dxi + d,i ёУг + <fet j
Так как члены, стоящие под знаком интеграла, должны исчезать независимо
от тех, которые не находятся под знаком интеграла, мы будем иметь:
ЬП-2m ) = о,
или
2 (х ёх + Y ёу + Z дг - т d^x + ?у *у + d*z dz j = 0,
а это и есть уравнение движения.
Вот, с точностью до некоторых ограничений, ограничений совершенно
излишних, и которые я ввел, чтобы как можно меньше отклоняться от
*) Эти слова в Матем. сборнике написаны по-русски. [Очевидно, это -
примечание редактора Матем. сборника. Прим. ред.]
49*
772
М. В. ОСТРОГРАДСК и
Лагранжа, вот принцип наименьшего действия. Я его изложу иначе, а именно
так: 1°. я буду пользоваться любыми координатами, 2°. (что существенно)
условия минимума и максимума я заменю условиями интегрируемости. Вам,
конечно, известно, что условия интегрируемости играют очень большую роль
в механике, например в гидростатике и гидродинамике. Я утверждаю, что вся
механика есть вопрос интегрируемости, это условие содержит в себе первое
как частный случай; оно требует только, чтобы вариация была
