Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
отношению к этой плоскости будет иметь до удара скорость, равную нулю, а
после удара скорость х - а или а - х в обратном направлении; так как это
изменение будет таким же, как в случае с бесконечным пространством, то мы
видим прежде всего, что изменение, которое происходит с телом А,
оказывается таким же, как если бы после состояния покоя, в котором оно
находилось, ему сообщили скорость, равную (а - х). Если перенести тем же
способом тело В на плоскость, движущуюся со скоростью b в
направлении С А, то его скорость до
удара будет также равна нулю, а после удара равна (х - Ь) и,
следовательно,
вызванное ударом изменение, происшедшее с телом В, будет таким же, как
если бы ему (находящемуся в покое) сообщили скорость, равную (х -• Ь).
Итак, следуя Вашему принципу, Милостивый государь, действие, требуемое
для того, чтобы вызвать эти изменения, будет равно А(а - х)2 для тела А и
В(х - Ь)2 для тела В, в полном соответствии с тем, что было найдено Вами.
26 июля 1747 г.
Имею честь подробно описать Вам мою попытку доказать, если это возможно,
справедливость принципов механики для законов удара, предполагая, что эти
принципы установлены опытом.
ВЫДЕРЖКИ ИЗ ПИСЕМ К МОПЕРТЮИ
749
Пусть два тела А и В действительно сталкиваются между собой; вместо силы,
с которой они действуют друг на друга, я предполагаю между ними пружину
ху или ab, которая напрягается по мере того, как происходит столкновение
(рис. 2); пусть А и В - массы тел, а а и b - их скорости до удара,
направленные обе от О к Z; в какой-то момент, в течение которого
продолжается удар, пусть будет определено в закрепленной точке О:
расстояние Оа = х,
ОЬ - у, скорость А = v,
В = и,
элемент времени = dt.
Тогда мы будем иметь:
dt=^ = "L
V U
длина пружины аЬ - у - х = z короче естественной длины, имеющей место в
начале столкновения, обозначим ее с. Таким образом, укорочение пружины
будет равно с - z, а сила р пружины будет некоторой функцией (с - z); она
толкает тело А назад, а тело В вперед. По известным Q Д В 2.
правилам, мы будем иметь: ¦-------------------------------------~
pdt = - Adv = В du.
и Рис. 2.
Но, так как я еще обязан сомневаться в справедливости этих правил, я
выберу еще более общие выражения. Для этого пусть V и U - какие-то
функции, подобные скоростям г; и и, и Р - какая-то функция р, которая
будет, следовательно, функцией (с - z), и вместо полученных формул я
рассмотрю следующие:
Pdt = ~ A dV и Pdt= + BdU,
которые, будучи более общими, заключают подлинные [предполагаемые?]
формулы, которых не содержат обычные выражения. Эти две формулы дают
сначала :
AdV + BdU = О I
dx dy
и вследствие dt = - = -
V U
Рdx - - AvdV и Pdy= + BudU; И
вычитая одну из другой, получаем:
Av dV + BudU = Р (dy - dx) = Pdz. Ill
Но P есть функция (с - z) или z, J Pdz будет функцией v(c - z), которую
примем равной //(с - z), и это третье уравнение дает
A \vdV+ B^udU-~f\{c-z). IV
Теперь, зная из опыта, что в течение всякого удара общий центр тяжести
обоих тел продолжает двигаться равномерно, можно сделать вывод, что Av +
Bu есть постоянная величина, тогда Adv -у Bdu = 0. Но уравнение I дает:
AdV + BdU = О,
750
~ Л. ЭЙЛЕР
откуда - -jj- ; следовательно, раз V и V суть функции, подобные v и ",
dV dU г гг
так что -jj- - -fa-, то, как бы ни отличались v и и, необходимо, чтобы
V и U были пропорциональны самим скоростям v и и. Поскольку речь идет
только о пропорциональности, пусть V = v и V = и. Тогда равномерное
движение центра тяжести дае^ нам уже менее общие формулы Pdt = - Adv и Р
dt = В du, отличающиеся от обычных только тем, что Р означает здесь
какую-либо функцию побудительной силы р, и отсюда еще не следует, что Р
должно быть равно р.
Итак, рассмотрев до сих пор только одно известное условие столкновения,
общее для тел упругих и неупругих, я перейду к рассмотрению других
условий для тех и других тел. Для неупругих тел известно, что удар
прекращается, как только углубление (enfoncements) или интервал (с - г)
становится наибольшим, т. е. когда dz = 0 = dy - dx. В этом случае
уравнение III дает Av dV + Ви dU = 0 ; тогда уравнение I, прибавленное к
предыдущему, покажет нам, что v = и или что тела после удара движутся
общим движением. Кроме того, найдя V= v и Е7= и, мы будем иметь Adv Bdu =
О и отсюда Av -f Ви = const = Аа -f- ВЬ, и мы узнаем, что количество
движения одно и то же до и после удара. Так как это обстоятельство
полностью определяет удар неупругих тел, то нерешенным остается лишь
вопрос, равна ли функция Р самой силе р или нет.
Для упругих тел удар прекращается, как только интервал z снова становится
равен с; значит, выражение //(с - z) будет одинаковым до и после удара.
Следовательно, из IV значение A§vdV-\-B§udU будет также одинаковым до и
после удара. Если установлено, что V = v и V - и, то это и будет сумма
живых сил Av2 -f- Ви2, которая будет одинаковой до и после удара.
Следовательно, известные законы удара оставляют неопределенной формулу,
