Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку среды различны. Поэтому, хотя сумма двух лийий СВ и ВА будет
всегда больше, чем сумма двух линий CD и DA, тем не менее линия СВ плюс
половина В А или плюс две В А может быть более короткой, чем линия CD
плюс половина линии DA или плюс две DA.
Я согласен с Вами, что эта задача не из легких. Но, поскольку природа
решает ее во всех преломлениях, чтобы не отклониться от своего обычного
образа действий, почему мы не можем взяться за такую задачу?
Я заверяю Вас, что предложу решение этой задачи, когда это Вам будет
угодно, и сделаю из него те выводы, которые смогут прочно обосновать
правильность нашего мнения. Во-первых, я выведу из него, что
перпендикулярный луч не преломляется; что свет, преломившись на первой
поверхности, больше не изменяет принятого им направления; что
преломленный луч то приближается к перпендикуляру, то удаляется от него,
в зависимости от того, переходит ли он из среды более редкой в более
плотную или наоборот ; одним словом, эта теория точно согласуется со
всеми явлениями.
ПИСЬМО ДЕ ЛА ШАМБРУ
745
Ведь если бы это было неверно, можно было бы сказать так, как сказал
Галилей по поводу другого случая, что природа, как нам кажется, движима
per pigliarsi gioco di nostri ghiribizzi - причудами нашей фантазии.
Однако, виноват - я забыл, что предметом этого письма должно было быть
только выражение благодарности. Умоляю Вас, Милостивый государь, простить
мне это длинное рассуждение, - хотя оно и вызвано только интересом,
который Вы питаете к этому вопросу, - и принять его в любом случае как
свидетельство уважения, которое я питаю к Вашей учености, и почтения, с
которым остаюсь, Милостивый государь,
Вашим покорнейшим и доброжелательным слугой
Ферма
Л. ЭЙЛЕР
ВЫДЕРЖКИ ИЗ ПИСЕМ К МОПЕРТЮИ [242 ]
10 декабря 1745 г.
Я нашел эту проблему гораздо более трудной, чем это представлялось мне
ранее, и встречал в ней почти всюду непреодолимые препятствия. Тем
неменее, я собрал приложенные к сему статьи, из которых некоторые смогут
послужить для более полного определения состояния данного вопроса,
решение которого остается за Вами. Я прочитал также, Милостивый государь,
Ваш превосходный труд о великом принципе покоя f243] и без лести имею
честь уверить Вас, что ценю разработку этой темы неизмеримо больше, чем
наиболее изящные решения частных проблем. В самом деле, я убежден, что
повсюду природа действует согласно некоему принципу максимума или
минимума, а обнаружение в каждом случае этого максимума или минимума и
есть, по моему мнению, не только очень возвышенная, но также очень
полезная для углубления нашего познания задача; мне кажется также, что
именно в этом следует искать подлинные основы метафизики. Одновременно я
считаю Ваш принцип более общим, чем Вы предполагаете, и убежден, что он
имеет место в системе любых тел, находящихся в состоянии покоя, где
каждая частица в определенном направлении подвергается действию движущей
силы Р; взяв в том же направлении элемент пространства dz, по которому
указанная частица перемещается за бесконечно малое время dt, если она
будет свободна от этой системы, я говорю, что §Pdz будет максимумом или
минимумом, но признаю, что в этом случае данный принцип не может быть
доказан геометрически, как Вы это сделали. В конце моего трактата об
изопериметрах я вывел упругие кривые из принципа максимума или минимума,
который мне сообщил господин Бернулли и который, как я теперь вижу,
совершенно естественно вытекает из Вашего принципа. В том же месте я
показал также, что в движениях природа постоянно соблюдает определенный
максимум или минимум, и я определил при помощи этого принципа все кривые
траектории, которые должны описать тела, притягиваемые к неподвижному
центру или друг к другу.
Пусть масса такого тела будет М, скорость тела в какой-либо точке его
орбиты и и отрезок проходимого пути ds, тогда я говорю, что [ Muds всегда
будет максимумом; и если имеется много тел М, М', М" и'т. д., которые
притягивают друг друга по какому-либо закону при скоростях в данный
момент времени и, и', и" и т. д. и пройденных за одно и то же время
расстояниях, равных ds, ds', ds", то движение всех тел вместе будет
таким, что J Muds + J M'u'ds' -f J M"u"ds" и т. д. будет максимумом.
Прквда, я не смогу доказать этот принцип строго, но, учитывая, что он
всегда дает мне то же решение, что и обычные принципы механики, я
совершенно убежден в его справедливости. Однако нам не хватает великой
науки, которая основывается на общих принципах, наблюдаемых в природе, и
мне кажется,
ВЫДЕРЖКИ ИЗ ПИСЕМ К МОПЕРТЮИ
747
что именно в этом заключается подлинная метафизика в том смысле, что она
содержит первые принципы физики и математики; метафизика Лейбница и
Вольфа еще очень далека от такой науки.
24 мая 1746 г.
Милостивый государь,
Следует признаться, что я еще не вижу достаточно ясно, каким образом
рассмотрение пройденного за данное время расстояния должно войти в
определение количества действия; я хотел бы знать, бывают или нет такие
