Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
тогда, когда из-за теплового расширения изменяется собственная частота
v0. Формально при этом дело идет о старом вопросе нулевой энергии,
вставшем уже ранее в связи с дилеммой: какое из истолкований планковской
теории, первое или второе, считать правильным. Дополнительный член
изменяет также закон границ спектральных полос.
Вид собственных функций (26), если вновь ввести переменную q, будет
следующий:
/ ,г -V
?>"(?) = " h Hn[2nq^j. (26')
Рассмотрение формулы (27") показывает, что первая собственная функция
представляет собой гауссовский "закон распределения вероятностей", вторая
собственная функция в начале координат обращается в нуль и совпадает при
положительных х с двумерным максвелловым законом распределения по
скоростям, который продолжается в сторону отрицательных х нечетным
образом. Третья собственная функция вновь является четной, кроме того,
она отрицательна в начале координат и имеет два симметричных нуля в
точках ± и т. д. Качественное поведение остальных функций легко
поддается рассмотрению. При этом следует заметить, что корни каждого
последующего полинома разделяют корни предыдущего. Из формулы (26)
следует, что характеристические точки собственных функций, как, например,
полуширина (для п - 0), нули, максимумы, лежат преимущественно в области,
доступной и для классического осциллятора, поскольку, как легко получить,
классическая амплитуда п-го колебания равна
• <28>
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
697
Однако точное значение абсциссы классической точки поворота не
соответствует какой-либо особенности в поведении собственной функции, как
это можно было бы предположить, так как точки поворота имеют для фазовых
волн тот смысл, что в них квадрат скорости распространения становится
бесконечным, а при еще большем отклонении отрицательным. В
дифференциальном уравнении (22) классической точке поворота соответствует
лишь обращение в нуль коэффициента при \р, что не приводит к появлению
какой-либо сингулярности.
Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при
\р и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в
общем случае, а не только для осциллятора. Это - как раз аналитическая
причина того, что посредством задания одного условия ограниченности
искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос
подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения,
как известно, означает следующее: чем меньше значение функции в какой-
либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее
возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае,
аналогично более наглядному сходному результату для уравнения
теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен
неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью
распространения означает как раз обратное: значения функции, большие, чем
ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно
возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что
удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться
неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится
использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным
собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом
сообщении примере видно, что требование существования точных собственных
значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину
Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем
пространстве волновая скорость распространения.
Вернемся после этого отступления к осциллятору и выясним вопрос, что
изменится, если у нашего осциллятора будет не одна, а две или более
степени свободы (пространственный осциллятор, твердое тело). Если каждой
координате соответствуют различные механические собственные частоты
(значения v0), то все останется по-прежнему. При этом достаточно
представить гр в виде произведения функций от каждой из координат, чтобы
вся проблема распалась на столько же задач рассмотренного типа, сколько
имеется координат. Собственные функции будут произведением ортогональных
функций Эрмита, собственные значения всей задачи будут суммами
собственных значений, полученных для каждого измерения, во всех возможных
сочетаниях. Ни одно собственное значение (всей системы) не будет кратным,
если считать, что никакие из значений v0 не находятся в рациональном
отношении.
Если же, наоборот, последнее имеет место, то указанный метод
рассмотрения, хотя и останется возможным, но уже, наверное, не будет
единственным. Появятся кратные собственные значения, и рассмотренное выше
"разделение" может быть также произведено и в других системах координат,
например в случае однородного трехмерного осциллятора, в пространственных
полярных координатах*). Получающиеся собственные значения будут,
*) При этом зависимость от радиуса г будет определяться уравнением,
