Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
**) I), v. L a n e, Ann. d. Phys. 44, 1914, стр. 1197 (§ 2).
***) См. предыдущее примечание.
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
687
все участвующие в суперпозиции плоские волны встречаются в точно
одинаковой фазе [229].
Применим теперь приведенные рассуждения к волнам в (/-пространстве.
Выберем в ^-пространстве для некоторого момента времени определенную
точку Р, через которую в момент времени t должен пройти в заданном
направлении волновой пакет. Пусть также заданы средняя частота v или
среднее значение Е для этого пакета. Подобные'уеловия соответствуют
заданию в случае механической системы исходной конфигурации и компонентов
скорости в начальный момент. (Задание энергии и направления движения
равносильно заданию значений компонентов скорости.)
Чтобы произвести оптическое построение, используем прежде всего некоторое
семейство волновых поверхностей, соответствующее нужной нам. частоте, т.
е. возьмем некоторое решение уравнения Гамильтона (Г) с определенным
значением Е; это решение, которое мы обозначим буквой W, должно обладать
также следующим свойством: нормаль к поверхности постоянного уровня,
проходящей в момент t через точку Р, например к поверхности
W = W0, (14)
должна быть направлена в точке Р в некотором заданном направлении R.
Этого, однако, еще недостаточно. Мы также должны иметь возможность
бесконечно мало варьировать волновую поверхность, и притом н способами (п
- число степеней свободы в ^-пространстве), так, чтобы нормали к этим
поверхностям в точке Р заполняли (п - 1)-мерный бесконечно малый угол
и частотаизменялась на бесконечно малом одномерном интервале, причем
также необходимо, чтобы все плоскости из получившегося бесконечно малого
"-мерного континуума в момент t встречались в точке Р со строго
одинаковой фазой. Затем следует определить, где лежит в какой-нибудь
другой момент времени точка, в которой вновь выполняется условие
равенства всех фаз сходящихся к ней волн.
Для того чтобы это можно было сделать, достаточно иметь некоторое решение
W уравнения Гамильтона, содержащее, кроме константы Е, которую мы
временно будем обозначать а1; еще п - 1 существенных постоянных "2, ад,
а4, ..., а". Дело в том, что тогда мы сможем, во-первых, придать
постоянной аг заданное значение Е и, во-вторых, будем иметь возможность
определить постоянные а2, а3, ..., ап таким образом, чтобы проходящая
через точку Р поверхность семейства имела в этой точке заданное
направление нормали R. Пусть в дальнейшем постоянные av а2, . .. ап имеют
как раз такие значения и пусть формула (14) определяет проходящую через
точку Р в момент t поверхность рассматриваемого семейства. Рассмотрим
затем континуум семейств поверхностей, принадлежащих ограниченному
бесконечно малому интервалу изменения величин aL. Один из членов этого
континуума, т. е. одно семейство поверхностей, определяется посредством
уравнения
... . dw . . dw . . dw . , ....
w + ^dai + -d^da* + ¦¦¦+ 157 da" =const <15)
при заданных значениях dalt da2, ..., dan и заданной варьируемой величине
const. Та отдельная поверхность из этого семейства, которая во время t
проходит через точку Р, получится при следующем выборе величины const :
W + dal + • • • + d(ln = + ( Э'щ ) ^al + • •
• + (-^-J0 dan , (15')
688
Э. ШРЕДИНГЕР
где через и т. д. обозначены постоянные, которые получаются
после
подстановки в соответствующие производные координат точки Р и времени t
(последнее фактически входит, впрочем, лишь в .
Плоскости (15'), соответствующие всем возможным совокупностям значений
dau dav ..., dan, образуют в свою очередь некоторое семейство. В момент t
все эти плоскости проходят через точку Р, их нормали заполняют малый (л-
1)-мерный пространственный угол, кроме того, параметр Е изменяется у них
в некоторой малой области. Это семейство (15') составлено таким образом,
что каждая из входящих в него поверхностей является также членом какого-
нибудь семейства (15), причем именно тем членом, который в момент t
проходит через точку Р.
Примем теперь, что фазовые углы волновых функций, принадлежащих
семействам (15), совпадают с фазовыми углами, соответствующими
поверхностям, входящим одновременно в (15'), т. е. совпадают в момент t в
точке Р.
Зададим теперь вопрос : найдется ли при любом значении времени такая
точка, в которой будут пересекаться все поверхности семейства (15) и в
которой вследствие этого все волновые.функции, соответствующие семействам
(15), будут совпадать по фазе? Ответ будет следующий : такая точка, в
которой совпадают фазы, найдется, однако эта точка не будет общей точкой
пересечения поверхностей семейства (15'), так как такой точки в каждый
момент времени больше не существует. Более того, точки с одинаковой фазой
оказываются такими, что с изменением времени те поверхности семейства
(15), которые входят одновременно в это семейство, непрерывно меняются.
Это можно установить следующим образом. В общей точке пересечения всех
