Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 314

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 308 309 310 311 312 313 < 314 > 315 316 317 318 319 320 .. 461 >> Следующая

рассматриваемая в отличие от предыдущего случая не как функция
импульсов, а как
функция скоростей qk; тогда полагаем квадрат линейного элемента ds
равным
ds* = 2T(qk,qk)dt*. (3)
Правая сторона равенства (3) фактически не содержит dt, что видно после
подстановки qk dt = dqk, приводящей к квадратичной форме от dqk.
Введенная метрика (3) определяет известным образом угол между двумя
линейными элементами, дивергенцию и ротор от вектора, градиент и оператор
Лапласа (div grad) от скаляра и т. д., совершенно подобно тому, как это
обычно делается в трехмерном евклидовом пространстве, понятиями которого
вообще можно здесь свободно пользоваться, заменяя лишь все время евкли-^
дов линейный элемент на несколько более сложный линейный элемент (3). Мы
таким образом установили, какой неевклидовый смысл следует придавать в
дальнейшем геометрическим образам в q-пространстве.
Одной из важнейших особенностей является здесь то, что при вычислении
нужно тщательно различать ковариантные и контравариантные компоненты
векторов и тензоров. Это приводит, однако, не к большим осложениям, чем,
например, применение косоугольных декартовых координат.
Величины qk являются прототипом контравариантного вектора. Зависящие от
qk коэффициенты в форме 2Т имеют ковариантный характер; они образуют
ковариантный фундаментальный тензор. Величина 27 является
контравариантной формой, соответствующей форме 27, так как импульсы
образуют компоненты ковариантного вектора, соответствующего контра-
вариантному вектору qk. Левая сторона уравнения (Г) представляет,
следовательно, просто-напросто контравариантную фундаментальную форму, в
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
681
dw
которую в качестве переменных введены величины , являющиеся по своему
смыслу компонентами ковариантного вектора grad W.
Такой же смысл имеет переход в выражении кинетической энергии от
скоростей к импульсам, поскольку ковариантные компоненты можно
подставлять только в ковариантную форму, так как иначе не получится
имеющего смысл выражения, т. е. инварианта.
Уравнение (Г) совпадает, таким образом, с условием
(grad Wf = 2 (Е - V) (1")
или
| grad W \ = У2(Е - V) . (1"').
Это условие можно легко проанализировать. Пусть найдена функция W (вида
(2)), удовлетворяющая условию (1'"). Тогда эту функцию можно в каждом
случае наглядно описать при каком-либо определенном значении t, изобразив
семейство поверхностей W = const в ^-пространстве и поставив в
соответствие каждой из них определенное значение W.
С одной стороны, как мы сейчас покажем, уравнение (1"') дает метод
последовательного построения всех поверхностей постоянного уровня и метод
определения соответствующих им значений W, если задана какая-либо одна из
поверхностей W = const и соответствующее ей значение W.
С другой стороны, требующиеся при подобном построении исходные данные,
а именно: некоторая начальная по- Vv * W0+dW0
верхность и значение величины W могут быть заданы совершенно произ-
вольно, после чего функция, удовлетворяющая уравнению (1"), может быть
построена двузначным образом. При этом мы пока считаем время постоянным.
Таким образом, рассмотренный способ построения поверхностей постоянного
уровня полностью исчерпывает содержание дифференциального уравнения,
любое решение которого можно получить, исходя из соответствующим образом
выбранной поверхности и некоторого значения W.
Перейдем теперь к изложенному способу построения. Пусть произвольной
поверхности (см. рисунок) приписано значение функции W, равное W0. Чтобы
найти поверхность постоянного уровня, соответствующую значению W0 + dW0,
восставляем в каждой точке исходной поверхности перпендикуляр и
откладываем на нем в положительном направлении (одну сторону мы заранее
уславливаемся считать положительной, а другую отрицательной) длину
. dWB ...
ds = - •. (4)
V2(E - V) v
Конечные точки перпендикуляров будут заполнять при этом поверхность W0 +
dW0. Продолжая действовать подобным образом в положительном и
отрицательном направлениях, можно последовательно построить все семейство
поверхностей постоянного уровня.
Способ построения двузначен, поскольку можно переменить обозначение
положительной и отрицательной сторон на исходной поверхности. Этого,
однако, нельзя сделать на дальнейших этапах построения ни на какой другой
682 э- ШРЕДИНГЕР
поверхности, так как производные по W должны быть непрерывными. Сверх
того, оба получающихся семейства поверхностей постоянного уровня,
очевидно, идентичны, и лишь приписанные им значения W изменяются в
противоположных направлениях.
Если рассмотреть теперь чрезвычайно простую зависимость от времени t, то
из уравнения (2) следует, что и для какого-либо более позднего (или более
раннего) значения времени t + t' распределение значений W будет
представляться тем же самым семейством поверхностей постоянного уровня,
что и при времени t; нужно лишь всюду заменить значения W на W + Et'.
Значения IV, так сказать, сдвигаются по определенному простому закону от
Предыдущая << 1 .. 308 309 310 311 312 313 < 314 > 315 316 317 318 319 320 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed