Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Представляет еще интерес, что область, внутри которой функция (18)
заметно отличается от нуля, определяется по порядку величины большой осью
соответствующего эллипса. Обратная величина множителя, который входит у
нас в качестве коэффициента перед/' в аргументе безразмерной функции /,
имеет, очевидно, размерность длины, а ее значение равно
К = . А"! ...</,
j- 2 III IS 11и' ' -1.Г-//1Г' I '
где а/ - длина полуоси эллипса, соответствующего /-й траекторий.
Равенство (21) следует из формулы (19) и известного соотношения ?; - - ^
- .
Выражение (21) определяет порядок величины искомой области при малых I и
п, так как тогда можно принять, что корни f(x) мало отличаются от
единицы. Это не будет иметь места, когда коэффициенты полиномов
становятся большими числами. Я не могу сейчас рассмотреть вопрос о
значениях корпев подробнее, но, по-видимому, все же приведенное
утверждение следует считать приблизительно правильным.
§ 3. Довольно естественно связывать функцию у> с некоторым колебательным
процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в
последнее время неоднократно подвергалась сомнению. Я сначала тоже хотел
обосновать новое понимание квантовых правил, используя'указанный
сравнительно наглядный путь, но потом предпочел рассмотренный в статье
чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить
все существенные стороны вопроса. Существенным .мне кажется то, что
квантовые правила не вводятся больше как загадочное "требование цело-
численности", а определяются необходимостью ограниченности и
однозначности некоторой определенной пространственной функции.
676
Э. ШРЕДИНГЕР
Я не считаю возможным до тех пор, пока не будут успешно рассчитаны новым
способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование
введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что
подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной
квантовой теории. Например, при рассмотрении по приведенному способу
релятивистской задачи Кеплера, если действовать по указанным вначале
правилам, получается замечательный результат: полуцелые квантовые числа
(радиальное и азимутальное).
Все же может быть позволено сделать несколько замечаний об истолковании
приведенных положений. Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным
исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений,
была диссертация де Бройля*), содержащая много глубоких идей, а также
размышлений о пространственном распределении "фазовых волн", которым, как
показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или
квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются
на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в
которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается
здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку,
стоячие собственные колебания. Я недавно показал**), что, рассматривая
подобные стоячие собственные колебания и пользуясь законом де Бройля
дисперсии фазовых волн, можно обосновать теорию газов Эйнштейна.
Предыдущее изложение является в свою очередь как бы обобщением
рассуждений, приведенных в связи с упомянутой газовой моделью;
Если связывать одну из функций (18) после умножения на шаровую функцию п-
го порядка с некоторым собственным колебанием, то тогда величина Е должна
быть как-то связана с частотой этого процесса. Обычно в сходных случаях
колебательных процессов параметр (чаще всего обозначаемый через А)
пропорционален квадрату частоты. Но в нашем случае подобный подход привел
бы для отрицательных значений Е к мнимым значениям частоты и, кроме того,
интуитивные соображения квантового теоретика говорят, что здесь должна
иметь место пропорциональность значения Е самой частоте, а не ее
квадрату.
Противоречие разрешается следующим образом. Для параметра Е вариационного
соотношения (5) предварительно не установлен какой-либо нулевой уровень,
в особенности потому, что искомая функция у содержит множителем, кроме
функции, куда входит Е, еще функцию от г, к которой при изменении
нулевого уровня прибавляется аддитивная постоянная. Следовательно,
"теоретик колебательных процессов" должен ожидать, что квадрату частоты
будет пропорционально не само Е, а величина, измененная 1ю сравнению с ?
на некоторую постоянную. Пусть эта постоянная очень велика по сравнению с
суммой всех имеющихся отрицательных значений Е [которые, как следует из
формулы (15), конечны]. Тогда соответствующие частоты будут
действительными и их относительно малые изменения действительно окажутся
приближенно пропорциональными Е. Но именно этого и требует "интуиция"
квантового теоретика, поскольку нулевой уровень энергии не является
фиксированным [225].
Данное истолкование, по которому частота колебания определяется с помощью
соотношения
v = C')[cTE = C'][C + ~=E+ ..., (22)
*) L. d е Broglie, Arm. d. Phys. (10) 3, стр. 22 (1925) и Theses Paris
