Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 309

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 303 304 305 306 307 308 < 309 > 310 311 312 313 314 315 .. 461 >> Следующая

значениях г имеют следующие асимптотические (в смысле Пуанкаре)
представления :
причем мы ограничились здесь первыми членами асимптотических разложений
по возрастающим целым отрицательным степеням. Рассмотрим, далее,
раздельно случаи Е > 0 и Е < 0.
1. Е > 0. Прежде всего отметим, что в этом случае равенство (15)
автоматически не выполняется, так как величина У- 2тЕ является чисто
мнимой. Согласно (14") чисто мнимыми будут значения q и с2. Таким
образом, поскольку г вещественно, экспоненциальные функции в формуле (17)
являются ограниченными периодическими функциями. Принимая также значения
ах и а2, можно из (14") получить, что оба решения Ux и U2 вблизи нуля
пропорциональны г~п~г. То же самое должно иметь место и для исследуемого
нами случая целого трансцендентного U, поскольку последнее всегда может
быть составлено из некоторой линейной комбинации Ut и U2. Соотношение (9)
вместе с (10) показывает, далее, что функция %, т. е. целое
трансцендентное решение исходного уравнения (7), все еще пропорциональна
- вблизи нуля, так как это % можно получить умножением U на гп. Иначе
говоря, имеет место следующее:
Эйлеровское дифференциальное уравнение (Ъ) нашей вариационной задачи
имеет при всех положительных значениях Е решения, которые во всем
пространстве однозначны, ограничены, непрерывны и стремятся к нулю как
у, все время непрерывно осциллируя. На поверхностном условии (6)мы еще
• должны будем остановится особо.
2. Е < 0. В данном случае заранее не очевидно, что равенство (15) не
имеет места, но мы это все же вначале предположим. Тогда согласно
формулам (14") и (17) функция Ux неограниченно возрастает при г~> °° и
функция U2, наоборот, экспоненциально стремится к нулю. Исследуемое целое
трансцендентное U (так же как и %) останется тогда и только тогда
ограниченным, если оно будет совпадать с точностью до численного
коэффициента с решением TJ2. Это, однако, не имеет места, что можно
проверить следующим образом : выбираем в выражении (12) замкнутый путь
интегрирования L,
lim ezr = О,
(16)
Ux ~ е°^ г~01 (- I)*1 (e2niai - 1) Г(ах) (q -Uz ~ ec*r r~a* (-1)°2
(e2nia* - 1) .T(a2) (c2 - q)^"1,
(17)
*) В том случае, когда выполняется равенство (15), по крайней мере один
из описанных в тексте путей интегрирования не может быть использован, так
как соответствующий интеграл равняется при этом нулю.
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
673
обходящий обе точки q и с2; этот путь будет действительно замкнутым на
римановой плоскости подынтегрального выражения из-за целочисленное(tm) суммы
аг + а2; следовательно, условие (13) автоматически выполняется, после
чего легко показать, что интеграл (12) представляет в данном случае нашу
целую трансцендентную функцию U. Этот интеграл в самом деле можно
разложить по положительным степеням г в ряд, который сходится во всяком
случае при достаточно малых г, так что данный интеграл должен являться
решением, совпадающим с U. Итак, решение U представляется с помощью
(12), если за L взять замкнутый путь, обходящий точки q и с2. Этот
замкнутый путь можно аддитивно составить из частей рассмотренных ранее
путей интегрирования, соответствующих U1 и Л2, с не равными нулю
коэффициентами, например 1 и е2ги"'. Таким образом, решение U
действительно нельзя получить из одной функции Л2, в него обязательно
должна также входить функция Ux.
Наше целое трансцендентное Л не будет, следовательно, при сделанных
предположениях и стремящемся к бесконечности г ограниченным. Не проводя
пока полного исследования, т. е. не приводя доказательства того, что
примененный способ дает все линейно независимые решения, мы можем
высказать следующее положение :
Для отрицательных Е, не удовлетворяющих условию (15), рассматриваемая
вариационная задача не имеет решения.
Нам остается теперь рассмотреть лишь дискретную совокупность
отрицательных значений Е, для которых выполняется условие (15). Оба
значения, аг и а2, будут при этом целочисленными. Из двух путей
интегрирования, приводивших нас ранее к фундаментальной системе Ult Л2,
первый должен быть, наверное, изменен, чтобы не получить равного нулю
результата. Дело в том, что величина аг - 1 безусловно положительна, так
что точка q не является ни точкой разветвления, ни полюсом
подынтегрального выражения, которое в зтой точке имеет обычный нуль.
Точка с2 тоже может стать регулярной, если а2 - 1 не будет
отрицательным. В каждом из этих случаев, однако,
можно без труда подобрать два подходящих пути L и даже провести
интегрирование в замкнутой форме с помощью обычных функций, тем самым
вполне определив поведение решений.
Пусть, в частности,
тгтйгв-' <'-*-а.з,4....). (.so
Тогда согласно (14") имеют место равенства
oj-1 =1 + п, "2-1 = - / +п. (14"')
Рассмотрим раздельно случаи I < п и I > п.
Пусть
а) /< п. При этом обе точки, с2 и с1( теряют свой сингулярный
характер, благодаря чему появляется возможность использовать их в
качестве начального или конечного пункта пути интегрирования L без
Предыдущая << 1 .. 303 304 305 306 307 308 < 309 > 310 311 312 313 314 315 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed