Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
специальные значения следует определить.
Рассмотренные выше положения составляют основное содержание всего
исследования.
Изучим прежде всего поведение решения в особой точке г = 0. Так
называемое определяющее уравнение, характеризующее поведение интеграла в
особой точке, будет в данном случае иметь вид
е(е-1) + 2р -п(н+1) = 0, (8)
причем его корни равны
Qi = n, е2 = -(п + 1). (8'}
Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и
соответственно -{п + 1) в показателе степени. Из положительности п
следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов,
который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с
гп, поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не
интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня
определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический
член, поскольку разность - (п + 1) - п целочисленна.) Так как ближайшая
особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами
первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую
трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое
решение представляет собой определенную с точностью до несущественного
постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию,
соответствующую при г = 0 показателю степени п.
Теперь нужно исследовать поведение этой функции при стремлении г к
бесконечности по положительной действительной оси. Для этого сделаем в
уравнении (7) подстановку
X = raU, (9)
где а подобрано таким образом, чтобы исключить в уравнении (7) слагаемое,
содержащее множитель . Как нетрудно проверить, величина а при этом должна
равняться или п, или - (п + 1), а уравнение (7) примет форму
(tm)+щ^1"и+щЕ+^и = 0. р.)
Двум интегралам этого уравнения при г = 0 соответствуют показатели
степени 0 и -2а - 1.
При а = п первый из этих интегралов, а при а = - (п + 1) второй интеграл
будут соответствовать согласно (9) нашей искомой целой трансцендентной
функции, которая является однозначной. Не теряя общности, мы можем,
следовательно, ограничиться одним из двух значений а. Выберем значение
а - п. (10)
Решению U при этом будет соответствовать при г = 0 показатель степени,
равный нулю. Уравнение (7') принадлежит к типу уравнений Лапласа,
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
671
общий вид которых такой:
^ + ("5о + 4)и' + (?о + ^-)^ = 0. (7">
В нашем случае входящие сюда постоянные равны
с п а о/ I 2/лЕ 2те* ,ч
А) ' 1 2 (ct -f- 1), ?q у Вi ¦ ¦ ^2 • 0
Этот тип уравнений сравнительно легко поддается рассмотрению, так как так
называемое преобразование Лапласа, в общем случае не меняющее порядка
уравнения, сводит в данном случае уравнение (7") к уравнению первого
порядка, которое в свою очередь разрешимо в квадратурах. Это позволяет
выразить решение уравнения (7") в виде интеграла на комплексной плоскости
[224 ]\ Я привожу здесь конечный результат*). Выражение
U = [ ezr (z - Cj)"1-1 (z - Гг)"2-1 dz (12)
L
является решением равнения (J"), если путь интегрирования L выбран так,
чтобы имело место равенство
j \?Т ^ " с^"2] dz==0- (13>
L
Константы съ с3, аъ а2 имеют следующие значения : q и с2 представляют
собой корни квадратного уравнения
z* + doz + eo = 0, (14)
а (q и dj определяются формулами
a е1 + Фсх a ii+Afi. (14')
1 Cj-Сз ' 2 С2-С! Y r
Таким образом, в частном случае уравнения (7') согласно (11) и (10) имеем
t][-2mE г _ ][-2тЕ
+ 1/-кг-. 2 _ '
те* , , , те2 , , ,
-= -f- П 1 , Я2 -------- -- -(- п -f- 1 .
КУ-2тЕ К У- 2тЕ
(14")
Интегральное представление (12) позволяет не только изучить
асимптотическое поведение общей совокупности решений уравнения (7") при
г, стремящемся к бесконечности, но и дает возможность исследовать
некоторое определенное решение, что всегда значительно труднее.
Мы исключим пока тот случай, при котором постоянные и а2 равны
действительным целым числам. Это равенство имеет место (причем всегда
одновременно для обеих постоянных) лишь тогда, когда выполняется условие
:
-- = действительному целому числу. (15)
+
Таким образом, мы считаем, что равенство (15) не выполняется.
Поведение совокупности решений при стремлении г к бесконечности по
определенному пути (в нашем случае г стремится к бесконечности всегда по
*) См. предыдущее примечание. Теория этого уравнения развита Пуанкаре и
Горном (J. Нога).
672
Э. ШРЕДИНГЕР
положительной вещественной оси) определяется поведением двух линейно
независимых решений, которые получаются при следующих двух особо
подобранных путях интегрирования L и которые мы обозначим через U1 и
U2*). По обоим путям интегрирования г выходит из бесконечности и
возвращается обратно в таком направлении, что имеет место соотношение
т. е. действительная часть гг стремится к -оо. Благодаря этому
выполняется условие (13). При этом в одном случае (решение UJ обходится
один раз точка q, а в другом случае (решение U2) - точка с2.
Оба эти решения при достаточно больших положительных действительных
