Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 307

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 301 302 303 304 305 306 < 307 > 308 309 310 311 312 313 .. 461 >> Следующая

§ 1. В этом сообщении я собираюсь показать на простейшем примере
нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила
квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не
вводится каких-либо "целых чисел". Целочисленность получается при этом
естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе
получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся
струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно
тесно связано с истинной природой квантования.
Обычная форма квантовых правил связана с уравнением в частных производных
Гамильтона:
Ищется решение этого уравнения, представляющее собой сумму функций каждая
из которых зависит только от одной из независимых переменных q.
Введем теперь вместо S новую неизвестную функцию ip так, чтобы эта
функция f имела вид произведения функций, зависящих только от одной
координаты. Для этого положим :
Постоянную К приходится ввести из соображений размерности, по которым она
должна обладать размерностью действия. Таким образом, получаем
соотношение:
Мы не будем искать решение уравнения (Г), а поставим следующую задачу.
При пренебрежении изменениями массы уравнение (Г) можно всегда свести, по
крайней мере в случае одноэлектронной проблемы, к следующему виду:
Квадратичная форма от функции ip и ее первых производных равна нулю. Ищем
такую действительную во всем конфигурационном пространстве, однозначную,
ограниченную и всюду дважды дифференцируемую функцию-ip, которая дает
экстремальное значение интегралу от упомянутой квадратичной формы,
распространенному по всему конфигурационному пространству*). Эта
вариационная проблема и заменяет у нас квантовые условия.
Возьмем сначала Я в виде функции Гамильтона кеплеровой проблемы и
покажем, что выставленное требование может быть выполнено не для всех,
(Первое сообщение)
0)
(2>
(1'>
*) Я не упускаю из вида, что подобная формулировка не является вполне
однозначной.
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
669
а только для положительных и лишь для некоторых дискретных отрицательных
значений Е. Это означает, что названная вариационная проблема имеет
непрерывную и дискретную области спектра собственных значений. Дискретная
часть спектра соответствует бальмеровским термам, а непрерывная -энергиям
движения по гиперболическим траекториям. Чтобы сохранялось численное
соответствие, величину К следует приравнять t
Поскольку выбор системы координат является несущественным при
установлении вариационных уравнений, воспользуемся прямоугольными
декартовыми координатами. Тогда уравнение (Г) будет записываться в нашем
случае (е, т-заряд и масса электрона) следующим образом [223]:
(Щ'+Фг+огг-^+я*-" (п
ж наша вариационная проблема примет вид:
ay _ • JJJ *** [(?)¦ + (?j1 + (If-)' - (е + 4),]- о. (3,
Интеграл берется здесь по всему пространству. Обычным способом отсюда
получаем
1 "5J=\dfdw^r-^dxdydzdf[Ay> + ^-[E + ~)v]=Q. (4)
Следовательно, должно быть, во-первых, справедливо уравнение
АУ + 4?(E + t)v' = 0'
и, во-вторых, должен равняться нулю распространенный по всей бесконечно
удаленной замкнутой поверхности интеграл
(6)
(Из (6) следует, что мы должны наложить дополнительное условие,
касающееся поведения dip в бесконечности, если хотим действительно
получить упомянутый выше непрерывный спектр. На данном вопросе мы еще
специально остановимся ниже.)
Уравнение (5) можно решить, например, в сферических координатах г, ¦&,
<р, представив ip в виде произведения функций от г, # и <р. Этот метод
решения общеизвестен. Зависимость от углов будет выражаться шаровой
функцией, зависимость от радиуса г (соответствующую функцию мы обозначим
через х) можно получить без труда из дифференциального уравнения
82z . 2 8у (2 тЕ 2 me2, л (n + m Q (J)
Эг2 + г дг + ( К2 + К2 г г2 )Х * '
Как известно, п должно быть обязательно целочисленным, в противном случае
зависимость от углов не будет однозначной. Нам нужны лишь решения (7),
которые остаются конечными для всех положительных, действительных
значений г. Уравнение (7) имеет на комплексной r-плоскости две
особенности при г = 0 и при г-°о, причем лишь во второй из них, г=°°, все
интегралы уравнения будут иметь существенно особую точку*). Эти две осо-
*) Я глубоко благодарен Герману Вейлю за его помощь в решении уравнения
(7)
В дальнейшем за подтверждением не доказанных в самой работе утверждений я
отсылаю
к книге : J. Schlesinger, Differentialgleichungen (Sammlung Schubert, №
13, Goschen, 1900, особенно главы 3 и 5).
бые точки являются граничными для нашего действительного интервала
изменения г. Как известно, в подобном случае требование ограниченноЬти в
граничных точках для функции % равносильно наложению граничного' условия.
Уравнение, вообще говоря, может не иметь ни одного интеграла, остающегося
ограниченным в обеих этих точках; подобный интеграл существует лишь при
некоторых специальных значениях входящих в уравнения постоянных. Эти
Предыдущая << 1 .. 301 302 303 304 305 306 < 307 > 308 309 310 311 312 313 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed