Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
соотношение, которое может быть выведено только из уравнения (а) п. 379,
было бы только следствием наших определений и, таким образом, не имело бы
механического смысла. Нужно отметить, что уравнения (а) пп. 378 и 381
представляют различные высказывания, а не одно и то же высказывание в
различной форме.
О. ГЁЛЬДЕР
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ [188]
Во введении к своей механике Генрих Герц говорит*), что принцип
Гамильтона часто дает физически неверные результаты. В доказательство он
приводит случай, в котором, как он сам замечает, путем простого
рассуждения без расчетов можно обозреть как те движения, которые могут
быть фактически совершены, так и движения, которые соответствуют принципу
Гамильтона. Герц добавляет, что результат не меняется, если вместо
принципа Гамильтона воспользоваться принципом наименьшего действия
Мопертюи. Рассмотрим его пример. В этом примере дан шар, который по
инерции катится без скольжения по неподвижной горизонтальной
плоскости**). Согласно Герцу, здесь принципу Гамильтона будут
соответствовать такие движения, которые при заданной постоянной живой
силе в кратчайшее время достигают заданной цели; отсюда вытекает, что
переход из любого начального положения в любое конечное положение был бы
возможен без приложения какой бы то ни было силы. Это заключение, которое
больше относится к принципу наименьшего действия, нежели к принципу
Гамильтона, получается примерно так. Если произвольно выбрать начальное и
конечное положения шара, то всегда возможны переходы из первого во второе
путем чистого качения***). Из всех этих переходов, каждый из которых
совершается при сохранении постоянной живой силы и при одной и той же
живой силе, один, определенный, потребует наименьшего времени****). Он
соответствует, по мнению Герца, принципу Гамильтона и принципу
наименьшего действия. Этому результату Герц противопоставляет тот факт,
что в действительности, несмотря на произвол выбора начальной скорости,
естественный переход из одного положения в любое другое положение при
отсутствии действия сил невозможен.
Только что высказанная, для Герца сама собой понятная истина получается и
на самом деле путем простого рассуждения. Для этого мы только должны
иметь в виду, что движение должно определяться начальным состоянием шара.
Кроме начального положения в определении начального состояния участвуют
также мгновенная ось вращения, которую мы проведем через центр,
соответствующая угловая скорость и поступательная скорость.
*) Gesammelte Werke, 1894, т. III, стр. 23.
**) Шар может и не быть однородным. Если он однороден, то получается
равномерное движение центра шара в сочетании с равномерным вращением шара
вокруг проходящей через центр шара оси, занимающей неизменное положение
относительно шара.
***) По поводу существования этих переходов ср. последнее примечание п.
12. На то обстоятельство, что и те переходы, которые здесь привлекаются
для доказательства, должны совершаться путем качения без скольжения, у
Герца в этом месте ясно не указывается; однако без этого условия вывод не
мог бы быть сделан. Что я правильно выражаю мысль Герца, добавляя это
условие, следует из номеров 347, 358, 112, 111.
****) С этим можно согласиться, хотя со строго математической точки
зрения это еще можно оспаривать.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
539
Ось можно провести через центр в любом направлении, угловая скорость
также может быть взята произвольно; но поступательная скорость тогда
определяется по величине и направлению, ибо должно иметь место качение
без скольжения по горизонтальной плоскости. Величина начальной угловой
скорости здесь не важна. Но так как начальная ось вращения может быть
выбрана дважды бесконечным числом способов, а каждый выбор оси ведет к
одномерному многообразию положений шара, то из некоторого данного
положения шар может попасть в трижды бесконечное число положений. Но
всевозможные положения шара образуют многообразие пяти измерений, ибо
положения центра образуют двухмерное многообразие, а шар может быть еще
повернут вокруг центра трижды бесконечным числом способов. Отсюда и
получается невозможность перехода из одного заданного положения в другое
заданное положение без действия сил.
Попытка объяснить полученное противоречие тем, что в природе, строго
говоря, не встречается качение, которое не было бы связано хотя бы с
небольшим скольжением, не удовлетворяет и самого Герца.
Из предшествующего достаточно ясно, что здесь речь идет не о противоречии
между обычной механикой и опытом, а скорее о взаимно противоречащих друг
другу следствиях из различных способов рассуждения. Поэтому противоречие
должно быть разрешено на основании теории.
Такое решение содержится в подробных рассуждениях книги Герца. Чтобы их
понять, следует обратить внимание на уравнения связей, которые могут быть
наложены на движущуюся систему. Герц допускает только уравнения связей,
не содержащие времени; однако координаты точек системы могуть входить под
