Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 233

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 227 228 229 230 231 232 < 233 > 234 235 236 237 238 239 .. 461 >> Следующая

конечном расстоянии друг от друга.
Пусть между двумя любыми положениями рассматриваемого геодезического пути
будет некоторое количество других геодезических путей. С одним из этих
путей должен совпадать абсолютно кратчайший путь (п. 172) между этими
положениями. Если теперь мы будем сближать оба положения вдоль
рассматриваемого геодезического пути, то длина этого пути и одновременно
длина абсолютного кратчайшего пути будут стремиться к нулю, в то время
как остальные геодезические пути остаются конечными. По крайней мере,
начиная от некоторого конечного расстояния между положениями,
геодезический путь, вдоль которого оба положения сближаются, должен
совпасть с абсолютно кратчайшим из них.
177. Аналитическое представление. Необходимым и достаточным аналитическим
условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл
элементов пути п. 99 [184], а именно J ds, взятый между какими-нибудь
двумя положениями пути, имел вариацию, равную нулю, если координатам пути
сообщают любые непрерывные вариации, предполагая лишь, что: 1) эти
вариации исчезают на пределах интеграла и 2) вариации координат и их
дифференциалы удовлетворяют уравнениям условий системы. Необходимое и
достаточное условие для этого получается из дифференциальных уравнений,
которым должны удовлетворять координаты пути, рассматриваемые как функции
любой переменной, и которые, следовательно, будут дифференциальными
уравнениями геодезического пути.
не. Выполнение этих дифференциальных уравнений для всех точек возможного
пути является одновременно необходимым условием (п. 172) того, чтобы путь
был кратчайшим, и, следовательно, эти дифференциальные уравнения являются
одновременно'дифференциальными уравнениями кратчайшего пути. Равенство
нулю вариации интеграла, однако, не является достаточным условием того,
чтобы путь между двумя конечными положениями был кратчайшим. Для этого
необходимо, чтобы для каждой допустимой вариации координат вторая
вариация интеграла была существенно
520
Г. ГЕРЦ
179.
80.
положительной. Для достаточно близких соседних положений пути, которые
удовлетворяют дифференциальным уравнениям, это условие (п. 176) всегда
автоматически выполняется.
Задача 1. Представить в прямоугольных координатах дифференциальные
уравнения геодезического пути материальной системы.
3п прямоугольных координат х" которые мы сначала рассматриваем как
функции любой переменной, должны до и после вариации удовлетворять i
уравнениям (п. 128):
, 3 П
^ xh, dxv = 0. (а)
v=l
3п вариаций dxv связаны, следовательно, i уравнениями, получаемыми из
уравнения (а) варьированием:
Зл Зп Зп ov
2 xL" ddx, + ^ ^ tordx, = 0. (b)
V= 1 V - 1 ц- 1 ^
Так как длина ds элемента пути зависит не от х" а только от
dx" то его
вариация будет
V = 1 V- 1
После такой предпосылки следует положить:
д J ds = [ 6 ds = 0. (с)
По правилам вариационного исчисления мы умножим каждое уравнение (Ь) на
пока произвольные функции от координат х, и сложим сумму левых сторон
полученных уравнений (она равна нулю) с вариациями элементов интеграла.
Посредством интегрирования по частям исключаем дифференциалы вариаций;
наконец, полагаем равными нулю множители при произвольных вариациях дх,.
Таким образом, получаем 3п дифференциальных уравнений вида
О (¦таг) + 2 *1 - 22 (^г - Ш = °- (d>
L = 1 L~ 1 fi=l '
которые вместе с уравнениями (а) образуют 3п + i уравнений для опреде
ления 3п + i функций х, и iL. Эти дифференциальные уравнения являются
необходимыми условиями для исчезновения вариации интеграла. Всякий
геодезический путь удовлетворяет этим же уравнениям, следовательно, это
есть искомое решение задачи.
Примечание 1. Дифференциальные уравнения п. 179 являются также и
достаточными условиями для того, чтобы путь был геодезическим. Ибо, если
они выполняются, то вариация интеграла J ds равна членам, которые при
интегрировании по частям появляются перед знаком интеграла,
следовательно, обозначив через 0 и 1 верхний и нижний пределы, получим
Ьп
sS"s=2 тй-+2*"ь
дх.
L=1
Если мы допустим, таким образом, что для двух каких-нибудь положений пути
вариации дх, равны нулю, то исчезает также вариация интеграла между теми
же положениями как пределами этого интеграла, и поэтому
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ"
521
181.
182.
183.
требуемое для геодезических путей достаточное аналитическое условие
выполнено согласно (177).
Примечание 2. Если мы пользуемся в качестве независимой переменной длиной
пути, то, принимая во внимание пп. 55 и 100, можно уравнения (d) п. 179
после деления на ds написать в виде уравнений
т
т
L= 1 L=1 ц
которые вместе с i уравнениями, полученными в результате
дифференцирования уравнения (а) п. 179, т. е. уравнениями
itl in in ov
+ = (b)
v = l *=1/<=1 Ц
определяют 3n -f i неоднородных линейных уравнений для нахождения 3п -f I
величин х" и ?¦ и, таким образом, определяют эти величины как однозначные
функции xr, х' и
Примечание 3. Имея в виду п. 72, уравнения (а) п. 181 можно записать в
Предыдущая << 1 .. 227 228 229 230 231 232 < 233 > 234 235 236 237 238 239 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed