Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
положениями заданной системы.
Ибо множество возможных перемещений из данного положения, равно числу
свобод движения системы. Многообразие возможных направлений в одном
положении и поэтому многообразие прямейших путей из него на единицу
меньше. Многообразие положений, которые достигаются из данного положения
прямейшими путями, так же точно равно числу степеней свободы. Однако
многообразие возможных положений может равняться числу используемых
координат, а поэтому вообще число их больше, чем' число направлений.
к
518
Г. ГЕРЦ
163. Замечание 1. Для того чтобы все прямейшие пути материальной системы,
положения которой отмечаются с помощью рд, можно было представить
уравнениями только между этими координатами, не является необходимым
знание каких-либо Зп функций, которые полностью определяют положение
отдельных точек системы как функции ре. Для этого, напротив, достаточно,
чтобы наряду с уравнениями условий системы, выраженными
через рв, были даны |г(г + 1) величин аеа как известные функции от рв.
Ибо дифференциальные уравнения прямейшего пути (158с) могут быть записаны
явно, когда наряду с р^ заданы аеа как функции рв.
164. Замечание 2. Для того чтобы прямейший путь материальной системы,
положение которой определяется с помощью ре, выразить через уравнения для
этих ре, достаточно, наряду со знанием уравнений условий для ре, знания
любого бесконечно малого возможного перемещения как функции этих
координат рв и их изменений.
Именно, если ds является указанной длиной в требуемой форме, то будет
иметь место
_ 1 э2 ds2 йеа - 2 ddpe ddpa '
,в5 Замечание 3. Для того чтобы знать значение кривизны в каждом
положении прямейшего пути, недостаточно знания ~ г (г -f 1) функций ава.
Необходимо еще знание-^-r2 (г -j- I)2 функций аеах^ п. 108 [18а].
Знание положения всех отдельных точек как функций ре также не является
необходимым для определения кривизны.
II. Кратчайшие и геодезические пути
"в. Определение 1. Кратчайшим путем материальной системы между двумя ее
положениями называется возможный путь между этими положениями, длина
которого меньше, чем длина какого-нибудь другого, бесконечно близкого
пути между теми же положениями.
167. Замечание 1. Определение это не исключает того, что между двумя
положениями можно построить несколько кратчайших путей. Кратчайший из
этих путей называется абсолютно кратчайшим путем. Он есть одновременно
кратчайший путь, который вообще возможен между этими положениями.
168. Замечание 2. Между какими-нибудь двумя возможными поло-
жениями материальной системы всегда возможен, по крайней мере, один
кратчайший путь. Ибо возможные пути между возможными положениями всегда
существуют, п. 114 [183]; среди них, следовательно, есть и абсолютно
кратчайший путь, т. е. тот, который короче, чем соседние пути. Эти
последние он должен иметь вследствие предположенной непрерывности (пп.
115 и 121).
169. Замечание 3. Кратчайший путь между двумя положениями есть
одновременно кратчайший путь между двумя любыми положениями этого пути.
Каждая часть кратчайшего пути есть также кратчайший путь.
по. Замечание 4. Длина кратчайшего пути отличается лишь на беско-
нечно малую величину высшего порядка от длины всех соседних путей между
теми же концевыми положениями. Длина же перемещения, которое переводит
соседний путь в кратчайший, есть бесконечно малая величина первого
порядка.
т. Определение 2. Г еодезическим путем материальной системы называется
каждый путь, длина которого между двумя любыми положениями
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ"
519
отличается лишь на бесконечно малую величину высшего порядка от длины
любого другого, бесконечно близкого соседнего пути между теми же
положениями.
172. Замечание 1. Каждый кратчайший путь между двумя положениями есть
геодезический путь.
Следовательно, определение п. 171 не содержит внутреннего противоречия,
ибо существуют пути, удовлетворяющие этому определению.
173. Замечание 2. Между двумя любыми возможными положениями всегда
возможен, по крайней мере, один геодезический путь (пп. 168, 172).
174. Замечание. 3. Геодезический путь не является обязательно кратчайшим
путем между какими-либо двумя его положениями.
Из определений нельзя заключить, что каждый геодезический путь является
также кратчайшим путем, и простые примеры показывают, что существуют
геодезические пути, которые не являются одновременно кратчайшими путями
между данными концевыми положениями. Такие примеры могут заимствоваться
уже из геометрии отдельных материальных точек, т. е. из обычной
геометрии, и могут, следовательно, рассматриваться как известные.
175. Замечание 4. Если между двумя положениями существует один-
единственный геодезический путь, то он является в то же время кратчайшим
и, именно, абсолютно кратчайшим. В противном случае возникает по пп. 168
и 172 противоречие с нашим предположением.
176. Замечание 5. Геодезический путь есть всегда кратчайший путь между
любыми двумя достаточно близкими соседними положениями, находящимися на
