Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
х и у для t = t", что можно записать так :
? = ai?i + a2?2 + a3?3, v = aiVi + я2% + a3v 3-
(е -f- а4) f4 + а2 f2 + аз ?3 - 0 , (s + flj) + Яг + я3 - 0 ,
откуда путем исключения получим
?1 ?1 fi о vl vl v'l О
•12 43 41 ^ п
?1 ?1 Of?
vl vl 0 vl
(2)
510
А. ПУАНКАРЕ
Раскрывая определитель, находим
и, полагая
^1 V% ^2^1) ^1^3 ^3^1
ч;, nv;-Hvi
f4"-^- = С(0,
?i Па - f з %
придадим уравнению (2) вид
?(0 = С(Г).
= О
(3)
Применение к периодическим решениям
З4в. Если мы имеем дело с периодическим решением периода 2л, то функции
/i(0 и /г (0 предыдущего раздела будут периодическими периода 2л; такими
же будут и
^1 = /х (0 " Vi ~ fi (О-
Кроме того, вариационные уравнения допускают согласно гл. IV другие
частные решения вида
? = е"Ч( 0, ч = е°Ч(0.
f = <гв'Рз (?), v = e~at y>3(t),
f = (0 + ptfi (t), п = у>4 (0 + #/' (0.
В этих уравнениях /? есть постоянная, а и -а являются характеристическими
показателями степени, а ср и ip - периодическими функциями. Пусть
есть уравнение живых сил; тогда
+ + + _*fl *L = Л
dx ' dy ' ' . dx dt , dy dt '
dnt dit
где А есть постоянная. Если в этом уравнении мы заменим f и ц через
е?*<р2, eaty>2, то его левая сторона обращается в периодическую функцию
t, умноженную на eat; так как она должна быть постоянной, то необходимо,
чтобы она была равна нулю.
Мы имеем, следовательно,
А = 0.
Это означает, что обе бесконечно близкие траектории, уравнения которых
* = /х(0, У = /2 (О
* = /х (0 + ""Ч (0, У = /а (0 + ""Ч(О
соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.
То же самое можно сказать и относительно траектории, уравнение которой
имеет вид
X = МО + е~"Ч(0- У = /а(0 - е~"Ч(0-
ОТРЫВОК ИЗ ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" 5П
Следовательно, мы имеем право полагать
?2 = е'л ср2, г)2 = ёл щ,
?3 = е-л сРз , Пг=е~а*Уг-
Тогда С будет всегда иметь вид:
С (t) = е2а( G (t), где G (i) - периодическая функция.
Случай устойчивых решений
347. Теперь мы должны различать два случая:
1°. Решение устойчивое и а2 отрицательное. В этом случае ?2 и ?3, щ и % -
величины мнимые сопряженные; С и G имеют модулем единицу. Мы сделаем три
гипотезы, которые оправдаем ниже. Предположим:
1) что G(t) никогда не обращается ни в нуль, ни в бесконечность;
2) что функция
f + _l_lnG(0 = T,
которая существенно действительна, является также и непрерывно
возрастающей;
3) что In G (0 является функцией периодической.
Тогда уравнение (3) может быть записано, если обозначить через т' и т"
оба значения т, соответствующих f и t", в следующем виде:
т" - т' = (/с - целое).
Каждому значению t соответствует одно-единственное значение т и каждому
значению т - одно-единственное значение t. Следовательно, чтобы к = 0,
нужно, чтобы f = t". Если же требуется, чтобы t" > f, то к должен быть
положительным.
Принимая к = 1, мы придаем t" - t' наименьшее значение; тогда
н /
Т - Т =-------
а
и точка М" есть фокус для М'.
Важно отметить следующее обстоятельство.
Приведенные соображения применимы в тех случаях, когда In G (t) является
периодической функцией; но вообще нам известно только то, что G (t) есть
периодическая функция, и отсюда непосредственно следует, что
In G (t)
возрастает на величину, кратную 2in, например на 2kin, если t возрастает
на 2 п. Тогда
In G (t) - ikt
есть функция периодическая.
Возьмем в этом случае
G' (0 = G(t) е~ш, а' = а + %;
512
А. ПУАНКАРЕ
для С получим
С (0 = e2at G (?) = е2а'( G' (?).
Вместо
т = ?+-^1пО(?)
возьмем
r = t+-±r\nQ' (?);
так как In G (?) есть величина периодическая, то предшествующие выводы
сохраняют свое значение.
Уравнение (3) запишется так:
т" - т' = (m - целое),
и М" будет фокусом М\ если
1Л
а'
Так оправдалась одна из трех гипотез, т. е. что In G (?) должен быть
периодическим.
Теперь я утверждаю, что функция т должна быть, как мы и предполагали,
непрерывно возрастающей.
Действительно, предположим, что эта функция допускает максимум т0 для ? =
?0; мы могли бы найти два момента ?' и ?" таких, чтобы соответствующие
значения т' и т" функции т были равны, и два других момента t'2 и t"2
таких, чтобы та = ; таких, наконец, чтобы пять моментов, впрочем,
очень
близких один к другому, удовлетворяли неравенствам
?2 < t'l <t0< t\ < t\.
Тогда t\ было бы фокусом t[, a t"2 - фокусом t2, а мы видели выше, что
такие неравенства невозможны, когда удовлетворено условие (А).
Я утверждаю теперь, что G (?) не может обратиться в нуль; действительно,
мы имеем
Si Пг - Si т
f(0 =
Si Vs - Ss Vi '
Числитель и знаменатель функции С (?) - мнимые сопряженные; если один из
них обращается в нуль, то другой тоже обратится в нуль; таким образом,
функция С(?) не может быть ни нулем, ни бесконечностью.
Так оправдались все наши гипотезы.
Ф. КЛЕЙН
О НОВЫХ АНГЛИЙСКИХ РАБОТАХ ПО МЕХАНИКЕ [17в]
Характерное отличие английских работ по механике от работ, выполняемых на
континенте, состоит, по моему мнению, в их тенденции, направленной на
непосредственное постижение действительности, и в насквозь проникающей их
